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Posted by: SoOsoOps

j'ai un repechage en math et je ne comprend pas comment trouver les zéros d'une fonction en factorisant et en utilisant la règle du produit nul (règle que je ne comprends pas non plus. Pourriez vous m'aider ? Pour que cela soit plus facile je vous donne un exemple d'un de mes exercices :
y=x^3-4x^2+x+6

Aidez moi vite svp


Posted by: Fanatic

Alors, factoriser une expression algébrique c'est soit identifier un facteur commun (un facteur apparaissant à l'identique dans chacun des termes, cela peut être un nombre, une lettre, un nombre et une lettre, une parenthèse, une combinaison de tout ça) et mettre cette expression en facteur, réduire le second facteur, factoriser au maximum en un produit de facteurs de degré http://www.maths-forum.com/images/l...09a6f75849b.gif si possible ; soit utiliser les identités remarquables ; soit un facteur commun et identité... ; soit démarrer par une factorisation partielle pour faire apparaitre un facteur commun ou une identité connu ; soit faire une petite pirouette algébrique en ajoutant et supprimant un terme pour faire apparaitre un facteur commun ou identité...
Ici, pour factoriser un polynôme de degré http://www.maths-forum.com/images/l...fd9f2a7baf3.gif http://www.maths-forum.com/images/l...2ca8413c23a.gif il faut soit utiliser une identité remarquable de degré http://www.maths-forum.com/images/l...fd9f2a7baf3.gif : http://www.maths-forum.com/images/l...7c76a602f10.gif ou http://www.maths-forum.com/images/l...eb3f352582a.gif , soit déterminer une racine (un zéro) évidente du polynôme en testant les valeurs http://www.maths-forum.com/images/l...98be32f1f5a.gif puis factoriser ce polynôme avec le binôme contenant cette racine évidente. En effet si http://www.maths-forum.com/images/l...636f20c111b.gif est une racine de http://www.maths-forum.com/images/l...78c6edc3454.gif de degré http://www.maths-forum.com/images/l...de7b31363a1.gif alors http://www.maths-forum.com/images/l...ef115948258.gif divise http://www.maths-forum.com/images/l...78c6edc3454.gif c'est à dire que http://www.maths-forum.com/images/l...78c6edc3454.gif s'écrit http://www.maths-forum.com/images/l...57505a5bf8b.gif avec http://www.maths-forum.com/images/l...71e54020cd0.gif un polynome de degré http://www.maths-forum.com/images/l...77373b6a467.gif . Ici on aura http://www.maths-forum.com/images/l...c77fe2eb129.gif . On détermine les coefficients du trinôme soit par identification des coefficients des même puissances de http://www.maths-forum.com/images/l...64e155c67a6.gif et résolution d'un système en http://www.maths-forum.com/images/l...aac18c6e1a8.gif soit par division de polynôme (vu en BAC+1, très rapide). Pour factoriser ensuite le trinôme on utilise soit la 1ère ou 2ème Identité remarquable vu en 3ème : http://www.maths-forum.com/images/l...7fb4c818ee0.gif ou http://www.maths-forum.com/images/l...78911ea6b2c.gif , soit on détermine les racines avec le discriminant http://www.maths-forum.com/images/l...cded8990f4e.gif du trinôme.
Ce qu'il faut comprendre, c'est que factoriser un polynôme du 3ème degré comme ça, ce n'est pas évident, on factorise le polynôme grâce à ses racines.
Pour ton polynôme on a :
http://www.maths-forum.com/images/l...f89cc14862c.gif est une racine évidente de http://www.maths-forum.com/images/l...78c6edc3454.gif donc http://www.maths-forum.com/images/l...78c6edc3454.gif s'écrit http://www.maths-forum.com/images/l...73103fd0a47.gif . On détermine les coefficients du polynôme, on obtient http://www.maths-forum.com/images/l...3148e26d77c.gif . Donc :
http://www.maths-forum.com/images/l...95a63b3d8c1.gif
Les racines du trinôme sont déterminées grâce au discriminant http://www.maths-forum.com/images/l...e046b9cec6b.gif et on factorise ce trinôme avec ses http://www.maths-forum.com/images/l...f89cc14862c.gif racines (rappel : si http://www.maths-forum.com/images/l...38e24611319.gif et http://www.maths-forum.com/images/l...b2f04ead3d8.gif sont les racines du trinôme http://www.maths-forum.com/images/l...bb30ffad43b.gif alors ce trinôme se factorise en http://www.maths-forum.com/images/l...e20fb2b1480.gif ) donc :
http://www.maths-forum.com/images/l...f98cd634206.gif
Ainsi http://www.maths-forum.com/images/l...47af0ceaf60.gif sont les http://www.maths-forum.com/images/l...fd9f2a7baf3.gif racines (simples) du polynôme http://www.maths-forum.com/images/l...78c6edc3454.gif permettant de le factoriser en un produit de http://www.maths-forum.com/images/l...fd9f2a7baf3.gif facteurs du 1er degré.
CQFD.

Rappel : une équation produit nulle est de la forme (cf. niveau de 3ème) :
http://www.maths-forum.com/images/l...dacf9b16968.gif .
On résoud cette équation (détermination des racines du polynôme, terme de gauche) grâce à la propriété suivante ; "un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul". Traduction mathématique :
http://www.maths-forum.com/images/l...ec01c26590e.gif
Donc http://www.maths-forum.com/images/l...47b6136ddc8.gif .
http://www.maths-forum.com/images/l...01bb6f06cb0.gif .

PS : c'est du boulot de taper tout ça, j'espère que tu apprécies. Alors entraine toi, apprends ton cours et fais des exos...

Citation:
Posté par SoOsoOps
j'ai un repechage en math et je ne comprend pas comment trouver les zéros d'une fonction en factorisant et en utilisant la règle du produit nul (règle que je ne comprends pas non plus. Pourriez vous m'aider ? Pour que cela soit plus facile je vous donne un exemple d'un de mes exercices :
y=x^3-4x^2+x+6

Aidez moi vite svp



Posted by: Fanatic

Il aurai fallu poster cette discussion dans le forum "lycée"...


Posted by: oscar

Bonsoir
p(x) = x³ - 4x² + x +6

Methode des diviseurs

Les racines si elles existent sont des diviseurs de 6
soit {-1:1:-2:2:-3:3: -6:-6}
On calcule P(-1) = -1 -4 -1 +6 =0 => -1 diviseur
P( 1) = 1 -4 +1 +6 # 0
P( -2) = -8 -16 -2 +6 # 0
P( 2) = 8 -16 +2 +6=0 => 2 diviseur => 3 diviseur

=> P(x) = ( x+1)(x-2) (x-3)

ILes racines sont donc -1; 2 et 3 Ce sont les ZEROS de P(x)










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