Théoreme des valeurs intermédiaires

par **lapras** » 18 Aoû 2007, 14:48

Bonjour,
le premier théoreme sur les fonctions continues en terminale S est :
Théoreme des valeurs intermédiaires.
ce théoreme semble tres intuitif, je pensais que c'était une démonstration tres simple pour le démontrer.... mais il est classé tres dur dans mon cour et le nombre d'opérations qu'on doit faire pour le démontrer (suites adjacentes....) m'impressionne pour un "simple" théoreme comme cela, ca me fait bizarre.
Ma question : avant d'avoir vu la démonstration (que je pensais triviale avant de l'avoir vue...), aviez vous réussi par vous même a démontrer ce théoreme ?

par **Nightmare** » 18 Aoû 2007, 14:51

Salut :happy3:

J'avais eu la démonstration à faire lors d'un exercice (pas si guidé que ça) donc on peut dire que oui :lol3: . Mais en fait la démo est comme le théorème, très intuitive. Si l'on arrive à comprendre pourquoi le théorème marche, alors la démonstration découle!

par **lapras** » 18 Aoû 2007, 14:54

En fait je pensais que c'était tellement trivial que je n'ai meme pas cherché a le démontrer..., j'ai regardé la démonstration juste comme ca... Et il s'est avéré que c'était une belle démonstration :)
Donc j'ai ne serais jamais si j'aurais été capable de le démontrer, ce qui est sur, c'est que j'aurais du etre mis sur la piste des suites...

par **kazeriahm** » 18 Aoû 2007, 14:57

il y aussi que c'est un des théorèmes "élémentaires", un des premiers, des fondamentaux, donc on n'a pas beaucoup d'outils pour le démontrer

la démonstration se fait donc à la main (la démonstration est constructiviste, on construit le point d tel que c=f(d)...) et c'est pour ca qu'elle peut sembler laborieuse

par **lapras** » 18 Aoû 2007, 14:58

Oui, mais une démonstration si complete pour démontrer un fait si évident, c'est comme les limites, c'est tres intuitif !

par **quinto** » 18 Aoû 2007, 15:21

En fait ce n'est pas si évident que ça, les fonctions peuvent parfois se comporter de façon assez spéctaculaire et on peut être surpris.

Il est très important d'avoir une intuition en maths mais parfois il ne suffit pas de se laisser convaincre (avoir ?) par elle.

par **lapras** » 18 Aoû 2007, 15:22

Ok quinto, maintenant je ferai plus attention !

par **Joker62** » 18 Aoû 2007, 16:43

Je me rapelle plus de la démo, mais vu que tu parles de suites adjacentes, j'imagine que c'est une espèce de Dichotomie, donc bon, la démo semblerai très naturelle, tout comme le théorème.

par **lapras** » 18 Aoû 2007, 16:47

Oui c'est en effet une sorte de dichotomie ^^
je viens juste devoir la dichotomie c'est vachement pratique !
Et aussi la méthode du balayage, mais bon encore faut il avoir une bonne calculette sur soit ^^

par **Joker62** » 18 Aoû 2007, 16:49

Ah ben ça le calculatoire c'est beaucoup plus naze que la réflexion.

par **lapras** » 18 Aoû 2007, 16:51

je suis d'accord !

par **Nightmare** » 18 Aoû 2007, 16:54

Lapras > Question interressante : Penses-tu que si une fonction vérifie le théorème des valeurs intérmerdiaires alors elle est forcément continue?

:happy3:

par **lapras** » 18 Aoû 2007, 17:09

Tres bonne question, et je pense qu'il doit y avoir une fonction qui vérifie le théoreme des valeurs intermédiaires et qui n'est pas continue, il ne doit pas yen avoir beaucoup mais ca doit exister !
J'ai pas de preuve pour l'instant....

EDIT :
Je dois y aller, mais je pense qu'une fonction périodique f(x) de péridode P :
f(a) n'est pas définie
Soit y = f(x+p) = f(x)
Si on arrive a faire en sorte que
lim y = +OO
x->a

On opeut faire quelquechose avec la périodicité...
je vais y réfléchir

par **Nightmare** » 18 Aoû 2007, 17:13

Ben, graphiquement c'est facilement trouvable non?

par **lapras** » 18 Aoû 2007, 17:58

Voir mon edit.
J'ai trouvé sin(1/x)
f(x) = sin(1/x)
lim 1/x=+OO
Soit f(x) = sin(1/x)
alors quand x->0
x<0
f(x) ne tend pas vers f(0)
f n'est pas continue en 0

par **kazeriahm** » 18 Aoû 2007, 18:00

il y a un théorème surprenant, celui de Darboux,

si une fonction f est dérivable sur [a,b], alors sa dérivée f' (qui n'est pas nécessairement continue) vérifie le théorème des valeurs intermédiaires !

ce qui montre qu'une fonction qui ne vérifie pas le TVI n'admet pas de primitive

par **Nightmare** » 18 Aoû 2007, 18:03

kazeriahm > Et maintenant la question : Est-ce qu'une fonction vérifiant le TVI admet forcément une primitive? :lol3:

par **Joker62** » 18 Aoû 2007, 18:06

Jolie en plus la démo du Théorème de Darboux.

par **lapras** » 18 Aoû 2007, 18:15

SUPER ce théoreme, je vais essayer de le démontrer, mais je crains que j'ai pas encore les connaissances necessaires, non ?

par **Nightmare** » 18 Aoû 2007, 18:17

Non je ne pense pas mais tu peux toujours essayer !

Théoreme des valeurs intermédiaires

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