Théorème du point fixe !

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Posted by: barbu23

Bonsoir:
Soit: $\ \alpha_{n} > 0 $ tel que : $\ \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \alpha_{n} $ converge.
Soit $\ (X,d) $ un espace metrique complet.
Soit: $\ f $ :$\ X \longrightarrow X $ une application pour laquelle :
$\ \forall n \in IN \hspace{10cm} \forall x,y \in X $ : $ d(f^{n}(x),f^{n}(y)) \leq \alpha_{n}. d(x,y) $.
Montrer que $\ f $ possède un point fixe unique : $\ p \in X $.
Merçi d'avance !!!


Posted by: barbu23

Si $\ x $ et $\ y $ sont deux points fixes de $\ f $ alors : $\ f(x) = x $ et $\ f(y) = y $.
$\ \forall n \in IN $ : $\ d(f^{n}(x),f^{n}(y)) \hspace{5cm} \leq \hspace{5cm} \alpha_{n} . d(x,y) \hspace{5cm} \Longrightarrow \hspace{5cm} d(x,y) \leq \alpha_{n}.d(x,y) $.
Merçi d'avance !!


Posted by: Imod

Je ne réponds pas aux questions de cours et je fais beaucoup de fautes mais je préfère "merci" sans la cédille

Merci d'avance !!!

Imod


Posted by: barbu23

va y, donne des idées... !!


Posted by: barbu23

C'est pas une question de cours ça, c'est un exercice !!


Posted by: barbu23

$\ \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \alpha_{n} < \infty \hspace{10cm} \Longrightarrow \hspace{10cm} \alpha_{n} \longrightarrow \hspace{5cm} 0 \hspace{5cm} \Longrightarrow \hspace{5cm} \forall \epsilon > 0 \hspace{10cm} \exists N \in IN $: $\ n>N \hspace{10cm} \Longrightarrow \hspace{10cm} \alpha_{n} < \epsilon $.
Pour $\ \epsilon = 1 $.
Il existe $\ N_{1} \in IN $ : $\ n>N_{1} \hspace{10cm} \Longrightarrow \hspace{10cm} \alpha_{n} < 1 $
$\ \Longrightarrow $
Il existe $\ N_{1} \in IN $ : $\ n>N_{1} \hspace{10cm} \Longrightarrow \hspace{10cm} d(x,y) \leq \alpha_{n} . d(x,y) < d(x,y) $
$\ \Longrightarrow $
$\ d(x,y) < d(x,y) \hspace{20cm} $ (absurde).
Donc il existe un seul point fixe de $\ f $.


Posted by: legeniedesalpages

Peut-être une idée pour l'unicité du point fixe:

En admettant que f possède un point fixe x, montrer que toute suite définie de la façon suivante a pour limite x:

x_0 un point de x,
x_{n+1} = f(x_n) quelque soit l'entier n.

Si il y aurait deux points fixes distincts x et y, ces suites convergeraient alors vers deux valeurs distinctes ce qui est absurde vu que X est séparé (un espace métrique est automatiquement séparé).

Pour montrer l'existence de ce point fixe, il me semble qu'il faut utiliser le fait que X est complet et les propriétés liées à la distance.


Posted by: legeniedesalpages

Barbu23, ta démo me semble correcte, mais tu devrais pas utiliser à tout va les symboles \Longrightarrow, tu diminues la clarté de rédaction et ça peut amener à des confusions.

Sinon tu as montrer que si il existe un point fixe de f, il n'en existe pas d'autres (unicité).
Mais tu n as pas montré qu'il en existe au moins un (existence).


Posted by: barbu23

Ben moi j'ai utilisé la même methode du cours : arriver à une contradiction de type : supposons , par absurde, que $\ x $ et $\ y $ sont deux points fixes de $\ f \hspace{15cm} \Longrightarrow \hspace{15cm} ... \hspace{15cm} \Longrightarrow \hspace{5cm} d(x,y) < d(x,y) $ ( contradiction ).


Posted by: barbu23

Mais c'est pas demandé dans l'exercice "legeniedesalpages" !!


Posted by: barbu23

Ah oui tu as raison "legeniedesalpages", comme dans la demonstration du cours !!


Posted by: legeniedesalpages

Citation:
Posté par barbu23
Montrer que $\ f $ possède un point fixe unique : $\ p \in X $.



par "possède", je pense qu'on te demande de montrer qu'il en a au moins un, et par "unique", qu'il en possède pas plus d'un.

Donc tu as deux choses à démontrer.


Posted by: Edrukel

l'idée est de supposer qu'il yen a deux l et l' et en utilisant la notion de la distance avec les résultats précédents de montrer que l=l'


Posted by: kazeriahm

pour montrer l'existence d'un point fixe, définit une suite récurrente

x_0 dans X et x_n+1=f(x_n)

essayer de montrer que (x_n) est de Cauchy dans X complet donc convergente (ceci grace à l'inégalité donnée)

(x_n) converge, vers un point fixe de f...


Posted by: kazeriahm

je détaille

on a d(x_{n+1},x_n) \leq a_n d(x_1,x_0)

on veut montrer que (x_n) est de Cauchy

d(x_p,x_{p+k}) \leq \displaystyle{\sum_{i=p}^{p+k-1} d(x_i,x_{i+1})} \leq \displaystyle{\sum_{i=p}^{p+k-1} a_i d(x_1,x_0)}

La suite(a_n) étant à terme positifs, on a

d(x_p,x_{p+k}) \leq d(x_1,x_0) \displaystyle{\sum_{i=p}^{\infty}a_i}

et la somme est le reste d'une série convergente, qui tend donc vers 0 quand p tend vers l'infini

donc la suite (x_n) est de Cauchy

EDIT : bon le TEX passe pas au milieu je comprends pas... si un admin passe par ici, s'il peut regarder...

EDIT2: merci geniedesalpages


Posted by: legeniedesalpages

il faut fermer par cette balise : [/TEX], et non par celle là: [\TEX]


Posted by: barbu23

Merçi à vous tous pour les reponses que vous m'avez donnés ...!
J'ai deux autres questions à vous poser concernant le même sujet ... !
Ma première question est:
Est ce que si on prend deux points distincts $\ x_{0} $ et $\ y_{0} $, alors on aura deux points fixes distincts $\ x $ et $\ y $ de $\ f $ avec : $\ x_{n} = f^{n}(x_{0}) $ et $\ y_{n} = f^{n}(y_{0}) $.
Ma seconde question est:
Quant on essaye de démontrer "l'existence" d'un point fixe de $\ f $, on considère un point quelconque :$\ a $ de : $\ X $, et la suite réccurente définie par : $\ \{ {x_{0} = a } \\ {x_{n+1} = f(x_{n}) = f^{n}(x_{0}) } $...On montre que : $\ (x_{n})_{n \in IN} $ est de Cauchy donc convergente puisque $\ X $ est complet, et converge vers un élément $\ x $ qui est obtenu en iterant à l'infini l'image de $\ a $ par $\ f $,et qui est un point fixe de $\ f $ biensûr.
Si on fait la même chose avec un autre point $\ b \in X$, on obtient un autre point fixe $\ y $...et ainsi de suite avec tous les éléments de $\ X $...Est ce que celà veut dire que pour tous point de $\ X $, il existe un point fixe qui lui correspond par $\ f $.Est ce que celà est vrai ?!
Merçi d'avance !!!


Posted by: yos

Bonsoir.
On a prouvé qu'il y a un seul point fixe p. Donc pour tout x, f^n(x)\to p.
Pour ta deuxième question, n'extrapole pas trop : il faut des hypothèses sur f.


Posted by: barbu23

D'accord, merçi Yos..!
C'est joli ça: $\ \exists ! p \in X \hspace{7cm} \forall x \in X \hspace{7cm}$ : $\ f^{n}(x) \longrightarrow p $...
Maintenant, je comprends bien le sens de l'unicité du point fixe de $\ f $.










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