Théorème de Gauss Bonnet

[mathic]

Bonjour, je dois démontrer les 2théorèmes suivants:

le 1er:

La somme de la courbure de Gauss totale et de la courbure géodésique totale du bord d'une surface polyèdrale est le produit de 2Pi par la caractéristique d'Euler de la surface.


Je travaille sur les surfaces polyédrales:
Une surface polyèdrale est un ensemble fini de facettes vérifiant les propriétés suivantes:

Deux facettes ne peuvent être que disjointes ou avoir une arête commune (et rien d'autre en commun).
Une arête ne peut appartenir à plus de 2 facettes. Les arêtes qui n'appartiennent qu'à une seule facette sont dites "bordantes''.
Parmi les arêtes ayant un sommet donné pour extrémité, 0 ou 2 sont bordantes. S'il y en a 2, le sommet est dit "bordant''.

L'ensemble des arêtes et des sommets bordants forment un ligne polygônale appelé le "bord'' de la surface polyèdrale.

Les arêtes et les sommets qui ne sont pas bordants sont dits "intérieurs''. La "courbure de Gauss'' en un sommet intérieur est par définition moins la somme des angles des facettes en ce sommet. La courbure de Gauss totale est la somme des courbures de Gauss pour tous les sommet intérieurs.

La courbure géodésique en un sommet bordant est moins la somme des angles des facettes en ce sommet. La "courbure géodésique totale du bord'' est la somme des courbures géodésiques aux sommets bordants.

La "caractéristique d'Euler'' d'une surface polyèdrale est égale au nombre de facettes - le nombre d'arrêtes + le nombre de sommets.



C'est facile à vérifier (en prenant des exemples comme un cube ou une pyarmide par exemple) mais je n'arrive pas à commencer de démonstration, je ne sais pas comment commencer ni sur quoi m'appuyer...


Si quelqu'un pouvait me venir en aide.
Merci

PS: j'ai un autre théorème qui est en rapport à démontrer mais je le posterais peut-être après car la démonstration de celui-ci pourra peut-être m'aider pour le prochain (et donc je pourrais peut-être m'en sortir tout seul).

[mathic]

un petit up histoire de pas être oublié :chef:

[yos]

Bonjour.
Peut-être par récurrence sur le nombre de facettes. Que se passe-t-il pour les invariants en question quand on ajoute une facette?