Théorème d'euler et intégrale double

[zomb]

Bonjour,

Je suis à la recherche de deux preuves mathématiques dont l'une implique le théorème d'euler et l'autre une intégrale double. Les voici :

1) Soit deux fonctions des variables x et y, f et g, appartenant à la classe C2 : classe des fonctions continues dont les dérivées partielles d'ordre 1 et d'ordre 2 existent et sont continues. Ces deux fonctions satisfont alors le théorème D'euler, c'est-à-dire que Fxy = Fyx et Gxy = Gyx.

Prouvez que si f et g satisfont les équations de Cauchy-Riemann (delF/delx = delg/dely et delF/dely = -(delg/delx)), alors les fonctions f et g sont harmoniques; autrement dit, chacune vérifie l'équation de Laplace del^2F/delx^2 + del^2F/dely^2 = 0 pour F = F(x,y).

Note :
del = dérivée partielle
La symbolique des équations s'insipire du logiciel maple.


2) À partir d'une intégrale simple, il est possible de trouver une primitive (écrite en nombre fini de termes) pour la fonction e^(-x^2). Trouvez un moyen de calculer int(e^(-x^2),x=0..infinity) en utilisant l'intégrale double et sans passer par un développement en série. Indice : considérez la fonction e^-(x^2+y^2).

Je crois que dans cette situation, je dois trouver l'effet de y et de l'isolé, puis d'utiliser les coordonnées polaires.
Ainsi,
e^-(x^2+y^2) = e^-(p^2)

p = rhô = sqrt(x^2+y^2)

Merci de votre collaboration.