Mathématiques - Théorème de Cayley-Hamilton

Théorème de Cayley-Hamilton
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Posted by: leon1789

Bonsoir,

Vous connaissez tous le théorème de Cayley-Hamilton :

Citation:

Soit une matrice carrée $M \in M_n(A)$ à coefficients dans un anneau A commutatif unitaire (prenez un corps si vous préférez). On note $\chi(T) \in A[T]$ son polynôme caractéristique.
Alors $\chi(M) = (0)$ dans $M_n(A)$ .

C'est le genre de théorème dont il existe 40 000 preuves (et j'arrondis par défaut). Je voudrais :
- vous en présenter deux (la première est fausse, et la seconde m'a l'air correcte) : la seconde, je ne l'ai vu nul part...
- que vous donniez votre avis sur ces deux preuves.

Preuve fausse :
Par définition $\chi(T) = \det(T.I-M)$ . Maintenant on évalue T en M, et on obtient $\chi(M) = \det(M.I-M) = \det(0) = 0$

Cette preuve est fausse. Une raison indiquant que la démo n'est pas correcte est que le 0 obtenu à l'arrivée est le 0 de l'anneau R et non le (0) des matrices de $M_n(R)$ . Ce problème de "typage" révèle bien un truc incohérent dans cette courte preuve...

Cependant, vouloir évaluer le T en la matrice M est assez naturel en fait, même si raconté comme ci-dessus amène une incohérence. C'est dommage...

Preuve juste :
Il y a plusieurs points clés (je vais passer les détails).

Prop 1 : les R-algèbres $M_n(\ R[T]\ )$ (matrices à coefficients polynomiaux) et $M_n(R) \ [T]$ (polynômes à coefficients matriciels) sont isomorphes.

Prop 2 : on définit un morphisme d'évaluation (à droite) en la matrice M
$\phi \ : \ M_n(A) [T] \to M_n(A)$ qui envoie un polynôme $P(X) = \sum_i P_i T^i$ sur la matrice $\phi(P) = \sum_i P_i M^i = P(M)$ .
Cette application est A-linéaire seulement et non compatible avec les multiplications internes des deux A-algèbres de manière générale.

Prop 3 : si $P = \sum_i P_i T^i \ \in M_n(A) [T]$ commute avec M, c'est-à-dire $P_i M = M P_i$ pour tout i, alors on a $\phi(Q.P) = \phi(Q) \phi(P)$ , i.e. $(QP)(M) = Q(M)P(M)$ .

Fin de la preuve du théorème :
On sait que $\chi(T) I = \det(T.I-M) = \tilde{(T.I-M)}\ (T.I-M)$ dans $M_n(\ R[T]\ )$ (où $\tilde{\ \ }$ désigne la co-transposée)
donc $\chi(T) = Q(T) .(I.T-M)$ dans $M_n(A) [T]$ (isomorphisme d'algèbres)
Or I et M commutent avec M donc la Prop 3 s'applique :
$\chi(M) = Q(M) .(I.M-M) = (0)$

Moralité : vouloir évaluer T en M n'est pas une si mauvaise idée, mais il faut prendre des précautions.

Bon... Votre verdict ?

Posted by: leon1789

Visiblement, ça ne déchaîne pas les foules...

Posted by: Rain'

Mon avis, la un est fausse, la deux m'a l'air juste même si je connaissais pas toutes les notions.

Mais comme on dit, ça revient à sortir l'artillerie lourde, y a d'autres preuves certes moins élégantes mais qui font appel à des résultats moins forts, non ?

Posted by: leon1789

Oui, la première est fausse, pas de doute. Le $M.I-M$ n'est pas la matrice nulle en fait : on se laisse abuser car la notation n'est pas adéquate ( les deux M ne représentent pas les mêmes matrices).

La seconde preuve n'utilise pas grand chose, juste un résultat bien connu $\tilde{N}.N = \det(N).I$ où $\tilde{N}$ est la co-transposée de la matrice N.

Il existe effectivement pleins d'autres preuves, plus ou moins sophistiquées. De ce que j'ai vu, les preuves utilisent soit $\tilde{N}.N = \det(N).I$ (appliqué avec $N=T.I-M$ ), soit les matrices compagnons (et leurs polynômes caractéristiques), soit la diagonalisation (notion encore plus évoluée...)

Posted by: Antho07

plutot la tigonalisaton en se plongeant dans la cloture algebrique(je pense que c'est ce que t'as voulu dire en disant diagonalisation)

Posted by: leon1789

Oui c'est vrai, il y a des démos qui utilisent la trigonalisation.
Mais bon, trigonalisation ou diagonalisation, dans un certain sens c'est kif kif pareil

c'est lié à l'existence de valeurs propres.

Posted by: leon1789

En fait, ce qui m'étonne, c'est que je n'ai vu aucune preuve où on disait clairement

Citation:

$\chi(T) = Q(T).(I.T-M)$ dans $M_n(A) [T]$ . Or I et M commutent avec M donc on peut évaluer T en M , d'où $\chi(M) = Q(M).(I.M-M) = (0)$

Etrange non ? Pourquoi une telle retenue ??