Théorème de Bézout pour les polynômes

[shtefi]

Le théorème de Bézout (pour les polynômes) s'énonce ainsi :
Deux polynômes A et B sont premiers entre eux si et seulement s'il existe dans K[X] deux polynômes Uo et Vo tels que :

AUo + BVo = 1

avec d°(Uo) < d°(B) et d°(Vo) < d°(A)

Comment expliquer cette dernière affirmation concernant les inégalités des degrés de polynômes ?


NB : J'appelle K[X] l'ensemble des polynômes.

Je vous remercie à l'avance pour vos salvatrices explications !

[Chimerade]

Supposons que tu trouves et vérifiant :



Alors, fais la division de par B :

avec d°()<d°(B)





Alors les polynômes et sont nécessairement du même degré. Et comme :

d°()=d°()+d°() et que d°()=d°()+d°()

le fait que d°()<d°() implique que :

d°() = d°()+d°()- d°()<d°()+d°()- d°()=d°()

Ainsi, en posant , on a bien :



avec d°()<d°() et d°()<d°()

Par conséquent, si tu trouves et vérifiant :



tu peux toujours en déduire deux autres polynômes et qui vérifieront :



et qui vérifieront en plus la condition sur les degrés !

[shtefi]

Merci infiniment Chimerade pour ta réponse très claire et aisément compréhensible pour mon niveau et pour la rapidité de ta réponse. Réponse qui me permettra d'approfondir mes connaissances sans avoir pris de retard !!!

Encore merci beaucoup !!!