Mathématiques - théorème d'Ascoli

théorème d'Ascoli
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Posted by: legeniedesalpages

Bonjour, je cherche à comprendre la démonstration de ce théorème:

Théorème d'Ascoli:

Soient $X$ et $Y$ deux espaces métriques compacts et soit $E$ une partie de l'espace $\mathcal{C}(X,Y)$ muni de la topologie de la convergence uniforme.

Dire que $E$ est également continu équivaut à dire que $E$ est relativement compact dans $\mathcal{C}(X,Y)$ .

démonstration:

1°/ On suppose $E$ également continu; pour montrer que $\overline{E}$ est compact, il suffit de démontrer que toute suite infinie $S$ d'éléments de $E$ contient une suite partielle qui converge dans $\mathcal{C}(X,Y)$ ; comme $\mathcal{C}(X,Y)$ est complet (puisque $Y$ l'est), il suffit même de montrer que $S$ contient une suite partielle de Cauchy.

Soit $\varphi$ un module de continuité commun à toutes les $f\in E$ . Pour tout $\varepsilon>0$ , il existe un recouvrement fini de $X$ par les boules ouvertes de rayon $\varepsilon$ et de centres $x_i(i=1,\cdots,n)$ .
Comme $Y$ est compact, on peut extraire de $S$ une sous-suite $S_1(\varepsilon)$ telle que, pour toutes $f$ et $g\in S_1(\varepsilon)$ , on ait:

(1)

$d_Y(f(x),g(x))\leq \varphi(\varepsilon)$ au point $x=x_1$ .

De cette suite $S_1(\varepsilon)$ on peut extraire une suite $S_2(\varepsilon)$ possédant la même propriété au point $x_2$ ; et ainsi de suite. Au bout de $n$ opérations, on aura construit une sous-suite $S_n(\varepsilon)$ vérifiant l'inégalité (1) en chacun des points $x_i(i=1,\cdots,n)$ .

Or par construction, pour tout $x \in X$ , il existe un point $x_i$ tel que

$d_X(x,x_i) \leq \varepsilon$ ,

ce qui entraîne

$d_Y(f(x),f(x_i)) \leq \varphi(\varepsilon)$ pour toutes $f\in S$ .

Pour toutes $f,g \in S(\varepsilon)$ on a donc,
$d_Y(f(x),g(x)) \leq d_Y(f(x),f(x_i)) + d_Y(f(x_i),g(x_i)) + d_Y(g(x_i),g(x)) \leq 3\varphi(\varepsilon)$ ,
autrement dit on a

(2)

$d(f,g) \leq 3\varphi(\varepsilon)$ .

On a donc mis en évidence un procédé qui associe à toute suite $S$ une sous-suite $S(\varepsilon)$ dont deux éléments quelconques $f,g$ vérifient la relation (2).
Il suffit d'itérer ce procédé en donnant à $\varepsilon$ les valeurs successives $(1, 1/2, \cdots, 1/n, \cdots)$ pour obtenir les suites successives:

$S, S(1), S(1,1/2), \cdots , S(1,1/2, \cdots, 1/n), \cdots$

dont chacune est sous-suite de la précédente.
Comme les $\varphi(1/n)$ ont pour limite 0, la suite diagonale de cette suite de suites est une suite de Cauchy.. C'est la suite cherchée.

2°/ Soit $E$ un sous-ensemble compact de $\mathcal{C}(X,Y)$ .
Pour tout $\varepsilon>0$ , il existe une suite finie $(f_1,f_2,\cdots,f_n)$ de points de $E$ telle que les boules ouvertes $B(f_i,\varepsilon)$ constituent un recouvrement ouvert de $E$ .
Pour chacune de ces $f_i$ , il existe un $\eta_i>0$ tel que l'inégalité

$d_X(x_1,x_2) < \eta_i$

entraîne

$d_Y(f(x_1),f(x_2)) < \varepsilon$ .

Soit $\eta$ le plus petit de ces $\eta_i$ ; pour toute $f\in E$ on a donc, en remarquant que $f$ appartient à une boule $B(f_i,\varepsilon)$ :

$d_Y(f(x_1),f(x_2)) \leq 3\varepsilon$

dès que

$d_X(x_1,x_2) < \eta$ .

Autrement dit $E$ est également continu.

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Déjà, je ne comprends pas cette affirmation:

Comme $Y$ est compact, on peut extraire de $S$ une sous-suite $S_1(\varepsilon)$ telle que, pour toutes $f$ et $g\in S_1(\varepsilon)$ , on ait:

(1)
$d_Y(f(x),g(x))\leq \varphi(\varepsilon)$ au point $x=x_1$ .

Posted by: Sylar

Ou

compliqué tout ca....

Posted by: legeniedesalpages

Oui Sylar :)

J'ai trouvé ce résultat dans mon cours de topologie (niveau licence), dans le chapitre des espaces métriques. Il paraît que c'est un théorème important.

Posted by: Babe

oula ca frappe fort dans la topologie

Posted by: Joker62

C'est clair ça fait peur :o

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Posté par legeniedesalpages

Bon en fait, j'ai compris. Juste une question pour ce passage:

Il suffit d'itérer ce procédé en donnant à $\varepsilon$ les valeurs successives $(1, 1/2, \cdots, 1/n, \cdots)$ pour obtenir les suites successives:

$S, S(1), S(1,1/2), \cdots , S(1,1/2, \cdots, 1/n), \cdots$
dont chacune est sous-suite de la précédente.
Comme les $\varphi(1/n)$ ont pour limite 0, la suite diagonale de cette suite de suites est une suite de Cauchy.. C'est la suite cherchée.

Pourquoi ne pas prendre la suite qui est tout "au bout à droite" de cette suite de suite, au lieu de prendre la suite diagonale?

Posted by: Pouick

Bin parceque... tout au bout a droite... faut pouvoir y aller... ca ne s'arrete pas.. donc tu pourras jamais prendre la sous sous sous ............................ suite , meme pour l'ecrire ..je dois arreter d'ecrire sous ! ^^ alors que cette diagonale.. tu peux la prendre comme sous suite..

Posted by: legeniedesalpages

d'accord, en fait on ne pas exprimer l'objet qui est "tout au bout".

Posted by: Pouick

exact.

Posted by: legeniedesalpages

un petit peu plus loin dans le cours, il y a un passage que j'ai du mal à comprendre:

Plus généralement, si $X$ est métrique compact et $Y$ métrique quelconque, et si $E$ est une partie de $\mathcal{C}(X,Y)$ muni de la métrique uniforme,
dire que $E$ est relativement compact équivaut à dire $E$ est également continu et que $\bigcup_{f\in E} f(X)$ est relativement compact,
c'est à dire que les $f$ de $E$ prennent leurs valeurs dans un même compact de $Y$ . Cette équivalence est une conséquence facile du théorème d'Ascoli.

pourquoi le fait que $E$ est également continu et que $\bigcup_{f\in E} f(X)$ est relativement compact

1°) entraîne que $E$ est relativement compact? (l'autre sens de l'implication, c'est ok)

2°) équivaut à dire que les $f$ de $E$ prennent leurs valeurs dans un même compact de $Y$ ?

Posted by: Pouick

voila ce que je dirais :
pour ta 2eme question tu considere l'adherence de la reunion des f(X) des f de E ... c'est un compact ... et toutes les fonctions f prenne leur valeur dans ce compact.

pour la 1ere question faut que je regarde plus tard je m'en vais.. lol

Posted by: legeniedesalpages

Bonjour Puick, oui effectivement j'avais mal interprété pour la 2°) c'est bon.

Pour la 1°), apparemment il faudrait se servir du théorème d'Ascoli, mais je ne vois pas comment.

Posted by: Pouick

Bon alors a vu de nez j'aurais tendance a dire que $\bigcup _{f \in E} f(X) \subset Y$ est relativement compact , or puisque l'on travaille qu'avec des fonctions de E , on ne travaille qu'avec les éléments de ce sous ensemble de Y . Donc on se ramene a un cadre compact comme dans le premier enoncé...

Posted by: legeniedesalpages

d'accord je vois :)

merci pour tes explications Pouick.