Soit a<b et f:[a,b]--> R une fonction de classe C2. On suppose qu' il existe
c et d tels que a<= c < d<=b et f(c)=f(d)=0.
Montrer que pour tout x de [a,b] , il éxiste u dans [a,b] tel que
f(x)=(f''(u) / 2)(x-c)(x-d)
(On pourra pr x différent de c et d introduire la fonction t ds [a,b] -->
f(t)-A(t-c)(t-d) ou A est choisi pr annuler cette fonctions en un certains
points et utiliser le theo de Rolle )
Voila j' imagine qu' il faut appliqué Rolle 2 fois succésivement par ex
entre a et c puis entre d et b de sorte a avoir un o tel que f'(o) = 0 et un
p tel que f'(p)=0 puis appliqué une nouvelle fois le theo de Rolle entre o
et p pr faire apparaitre une dérivé seconde mais je ne m' en sors pas .
Si quelqu' un pouvez m' aider ...
Merci d' avance
Posted by: Michel
Romain :
> Montrer que pour tout x de [a,b] , il éxiste u dans [a,b] tel
> que f(x)=(f''(u) / 2)(x-c)(x-d)
Il ne manquerait pas des termes ?
Le résultat est assez surprenant.
--
Michel [overdose@alussinan.org]
Posted by: Romain
Non non j' ai vérifié et c' est bien ca
Posted by: Pascal
Romain wrote:
> Soit a<b et f:[a,b]--> R une fonction de classe C2. On suppose qu' il
> existe c et d tels que a<= c < d<=b et f(c)=f(d)=0.
>
> Montrer que pour tout x de [a,b] , il éxiste u dans [a,b] tel que
> f(x)=(f''(u) / 2)(x-c)(x-d)
> (On pourra pr x différent de c et d introduire la fonction t ds [a,b]
> --> f(t)-A(t-c)(t-d) ou A est choisi pr annuler cette fonctions en un
> certains points et utiliser le theo de Rolle )
>
>
On fixe x distinct de c et d. Soit g: t -> f(t)-(A/2)(t-c)(t-d) où A est
choisi pour que g(x)=0.
On a en outre g(c)=g(d)=0. Je te laisse terminer.
Ta formule n'est autre que l'erreur d'interpolation de f aux noeuds c et d.