systeme d equation

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: Non inscrit

Comment détermine t-on ,2 nombre complexes u et v telles que
u+v=-1
u²-v=-1


Posted by: Chimerade

Citation:
Posté par Non inscrit
Comment détermine t-on ,2 nombre complexes u et v telles que
u+v=-1
u²-v=-1


Cela ne diffère pas de la résolution en réels, au moins a priori. Alors résouds comme si c'étaient des réels, tu verras bien si ce sont des réels ou pas...


Posted by: Non inscrit

v=u²+1
d'ou
u²+u+1=-1 en substituant d'ou u²+u+2=0.
le discriminant est 1-4*1*2=1-8=-7.
d'ou
u=(-1+I*racine7)/2 ou u=(-1-I*racine7)/2.
u a 2 valeur possible mais comment determine t'on laquelle est la bonne.


Posted by: rene38

Salut

Calcule v et conclus toi-même.


Posted by: Chimerade

Citation:
Posté par Non inscrit
v=u²+1
d'ou
u²+u+1=-1 en substituant d'ou u²+u+2=0.
le discriminant est 1-4*1*2=1-8=-7.
d'ou
u=(-1+I*racine7)/2 ou u=(-1-I*racine7)/2.
u a 2 valeur possible mais comment determine t'on laquelle est la bonne.

Tu as raisonné par équivalences.

Un couple (u,v) vérifie le système :
u+v=-1
u²-v=-1
si et seulement si il vérifie le système :
u²-v=-1
u²+u+2=0

Or à toute solution u de la dernière équation, on peut associer v défini par v=u²+1, de manière que le deuxième système soit vérifié. Donc le premier système le sera également.

Toutes les solutions (les deux) que tu as trouvées pour l'équation du second degré te permettent de déterminer une valeur pour v et donc un couple (u,v) qui vérifie le système initial.

Il y a donc deux solutions : \Large (u_1,v_1) et \Large (u_2,v_2). C'est tout bon !

Le problème est différent si on ne raisonne pas par équivalence. Par exemple, si tu as une équation comme :
\Large \sqrt{3x-30} = x+1 [1]
Alors tu peux dire : si x est solution de l'équation [1] alors nécessairement x est également solution de l'équation [2] obtenue en élevant au carré les deux membres :
\Large (\sqrt{3x-30})^2 = (x+1)^2 [2]

Mais ce n'est pas une équivalence. Toute solution de [1] est nécessairement une solution de [2] mais il est possible que des solutions de [2] ne soient pas solutions de [1] (éventuellement même il est bien possible qu'aucune des solutions de [2] ne soit solution de [1]). Simplement, comme il est facile de chercher les solutions de [2] on peut le faire, sachant qu'une éventuielle solution de [1] est forcément parmi elles. Et ensuite, il faut vérifier pour chacune d'entre elles, si oui ou non elle est solution de [1].

Dans ton cas, tu as raisonné par équivalences, donc ce n'est pas nécessaire de vérifier. Toutes les solutions du deuxième système sont également nécessairement solutions du système initial !


Posted by: Non inscrit

j'ai oublie de dire que u=z+z²+z^4 et v=z^3+z^5+z^6 et z=e^((2*i*pi)/7).
est ce que on peut conclure?


Posted by: Chimerade

Citation:
Posté par Non inscrit
j'ai oublie de dire que u=z+z²+z^4 et v=z^3+z^5+z^6 et z=e^((2*i*pi)/7).
est ce que on peut conclure?


Ben non ! Si en plus il faut que u=z+z²+z^4 et que v=z^3+z^5+z^6 avec z=e^((2*i*pi)/7), il te faut au moins vérifier que les valeurs de u que tu as trouvées sont bien égales à z+z²+z^4 ce qui, à l'évidence ne peut être vrai que pour l'une seulement des deux au maximum. Par contre je suppose que le fait que v=u²+1 (je ne l'ai pas vérifié) est conséquence directe de u=z+z²+z^4 et de v=z^3+z^5+z^6. Donc, il suffit de vérifier u, si u est bon , v le sera aussi.


Posted by: Non inscrit

je n'ai pas compris ta remarque.










-