Systeme equa diff en polaire

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Posted by: Babe

Bonjour,

j'ai eu un exo en partiel de math ou j'ai un peu galeré
un peu d'eclaircissement n'est pas de refus

Soit le systeme d'equa diff en coordonnées polaires
3$ *\{{r'=\frac{r}{2}sin(r^2)\atop \theta'=1}

1)transformez le systeme en coordonnées cartesiennes

j'ai trouvé
3$ **\{ {\frac{xx'+yy'}{\sqr{x^2+y^2}}=\frac{\sqr{x^2+y^2} }{2}sin(x^2+y^2) \atop 1=\frac{xy'-x'y}{x^2+y^2}}

ca je pense que c'est juste

2)transformez la 1er equation de (*) en 3$ v'=sin(e^v)

la j'ai posé 3$ e^v=r^2
et ca s'arrange bien
c'est maintenant que ca se gate

3)Montrez que chaque solution non stationnaire de (**) est une courbe reguliere

4) Montrez que chaque solution de (**) est bornée

5) Montrez que le systeme (**) possede une infinité de solutions periodiques situés sur des cercles et determinez toutes les solutions stationnaires et periodiques

6) Montrez que le systeme (**) n'admet aucune integrale premiere

merci d'avance


Posted by: busard_des_roseaux

Citation:
Posté par Babe
j'ai trouvé
1=\frac{xy'-x'y}{x^2+y^2}


Bonjour,

Je me demande comment tu obtiens ce résultat (juste au demeurant).
ça recoupe une question que je m'étais posé à propos du log complexe.


Posted by: Babe

Citation:
Posté par busard_des_roseaux
Bonjour,

Je me demande comment tu obtiens ce résultat (juste au demeurant).
ça recoupe une question que je m'étais posé à propos du log complexe.

quand tu as une equa diff en coordonnées polaires et que tu veux la mettre en coordonnées cartesiennes, le changement de variable correspond a:

3$ **\{ {r'=\frac{xx'+yy'}{\sqr{x^2+y^2}} \atop \theta'=\frac{xy'-x'y}{x^2+y^2}}

après la demonstration ne coule pas de source et est plutot longue...










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