Système d'équations non-linéaires

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Yakko-San
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Enregistré le: 15 Fév 2010, 17:39

Système d'équations non-linéaires

par Yakko-San » 15 Fév 2010, 18:02

Bonjour à tous,

j'aimerais savoir s'il existe un(e) théorème/condition à propos de l'existence de solutions pour un système non-linéaire. Plus important encore, je souhaiterais savoir s'il existe une relation entre le nombre d'inconnus, le nombre d'équations et l'existence d'une solution.
Dans le cadre d'une mesure physique, en considérant le sytème suivant

j'ai été amené à estimer 5 paramètres physiques à partir de quatre équations en minimisant la fonction suivante (la fonction importe peu au final) :

sont mes cinq paramètres à estimer et sont des fonctions non-linéaires en x et

Je cherche donc à légitimer qu'il est bien possible de résoudre ce système "sous-contraint". J'entends souvent le même argument, disant que c'est un système sous-contraint et donc ce n'est pas possible de le résoudre. J'aimerais savoir si cela est vrai ou bien si c'est une mauvaise utilisation d'un théorème venant d'un cas où les équations sont linéaires.

Merci par avance de votre aide.

Cordialement,

Grégory



Yakko-San
Messages: 2
Enregistré le: 15 Fév 2010, 17:39

par Yakko-San » 17 Fév 2010, 18:38

Un petit coup de main de la part de mathématiciens pour leurs collègues physiciens...

Merci par avance.

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mathelot
Habitué(e)
Messages: 13688
Enregistré le: 08 Juin 2006, 09:55

par mathelot » 17 Fév 2010, 21:01

si ça marche.

En situation générale, la différentielle de f est une application linéaire de rang maximal
va donc être , à fixé, une application surjective
de dans .

quant on résoud un tel système linéaire, on a un degré de liberté,ie,
une des inconnues devient un paramètre.

Ensuite, le théorème des fonctions implicites indique que ce contexte se transmet de la différentielle à la fonction f dans un voisinage de

et on doit obtenir une solution maximale

donc localement, on a une solution.
mais pour une solution globale là ce n'est pas évident.
par exemple l'équation n'a pas de solution définie
sur R tout entier.

 

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