Mathématiques - symétrie

symétrie - translation
(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)

Posted by: MacManus

Bonjour,

Quelqu'un pourrait-il m'aider dans cet exercice car je n'avance pas.

1. Déterminer les équations cartésiennes qui définissent la symétrie $\sigma$ par rapport à la droite D: x+y = 1 et parallèlement à la direction (2, 1).
2. On note $\tau$ la translation de vecteur (1, 1).
Quels sont les éléments caractéristiques
de la composée g = $\tau$ ° $\sigma$ ?
3. Déterminer pour tout n ∈ Z l’itérée n fois de g : $g^n$

1.
J'ai bien tracé la droite D : y = -x+1 mais comment trouver les équations ??
Faut-il exprimer la partie linéaire (matrice) de cette symétrie?

2.
la composée g est-elle une symétrie glissée ?

Merci de votre aide! car je n'y comprends pas grd chose..

Posted by: mathelot

bjr,

On obtient trois égalités et trois inconnues $x',y',\lambda$ en écrivant

$\vec{MM'}=\lambda \vec{u}$ avec $\vec{u}(2;1)$

L milieu de [MM'] $\in \quad (D)$

Cordialement,

Posted by: MacManus

bjr et merci de ton aide

M(x,y) ; M'(x',y') ; $\vec u$ = (2,1)

$\vec{MM'} = \lambda \vec u$ équivaut au système d'équations

x' - x = 2 $\lambda$
y' - y = $\lambda$
y = -x + 1

x' = x+2 $\lambda$
y' = -x+1+ $\lambda$

L((x'+x)/2,(y'+y)/2) $\in$ D

donc : (y'+y)/2 = -[(x'+x)/2] + 1

est-ce que c'est exact?
merci

Posted by: mathelot

ben non, ce n'est pas exact

Posted by: mathelot

Citation:

Posté par MacManus

x' - x = 2 $\lambda$
y' - y = $\lambda$
y = -x + 1

L((x'-x)/2,(y'-y)/2) \in D

donc : (y'-y)/2 = -[(x'-x)/2] + 1

j'ai mis du rouge

Le point M est un point quelconque du plan, non nécéssairement sur D
Les coord. du milieu sont inexactes

Posted by: MacManus

j'ai exprimé matriciellement x' et y' en foncion de x et y et du vecteur u

la matrice est A = $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

j'obtiens une reation du genre X' = AX + $\lambda \vec u$

le milieu du segment [MM'] est bien L = ( $\frac {x+x'}{2} ; \frac {y+y'}{2}$ ) ??

Posted by: mathelot

Citation:

Posté par MacManus

le milieu du segment [MM'] est bien L = ( $\frac {x+x'}{2} ; \frac {y+y'}{2}$ ) ??

oui.

Posted by: MacManus

Ouf je suis pas bête

Donc Si L $\in$ D cela signifie que ses coordonnées vérifient l'équation de D : x+y = 1. ( $x_L + y_L =1$ )
c.a.d : $\frac{x+x'}{2} + \frac {y+y'}{2} = 1$

Posted by: MacManus

A l'aide de cette dernière équation je trouve $\lambda = \frac{2}{3}-x-y$ ?

les points M, M' appartenant au plan et L appartenant à D et milieu de [MM'], la droite engendrée par le vecteur $\vec u$ n'est pas perpendiculaire à D ?

Posted by: mathelot

Citation:

Posté par MacManus

A l'aide de cette dernière équation je trouve $\lambda = \frac{2}{3}-x-y$ ?

les points M, M' appartenant au plan et L appartenant à D et milieu de [MM'], la droite engendrée par le vecteur $\vec u$ n'est pas perpendiculaire à D ?

non, ce n'est pas une symétrie orthogonale. Elle est involutive mais ne conserve ni les distances, ni les angles (faire un schéma)

Posted by: MacManus

Citation:

Posté par MacManus

j'ai exprimé matriciellement x' et y' en foncion de x et y et du vecteur u

la matrice est A = $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

j'obtiens une reation du genre X' = AX + $\lambda \vec u$

Ma matrice A est la matrice identité, donc l'équation ci-dessus définie une translation. où est donc ma symétrie avec les 3 équations et les 3 inconnues x',y' et $\lambda$ ?? Je ne comprends pas bien...

Posted by: mathelot

il faut exprimer x' et y' comme fonctions affines de x et y.

On a des relations. on élimine $\lambda$ et on calcule x' et y' en fonction de x et y.

Posted by: MacManus

On a : x' = x+2 $\lambda$
y' = y + $\lambda$

donc : 2y' - x' = 2y - x
hum..en tout cas j'ai éliminé $\lambda$

Je dois aussi utiliser cette relation ?

$\frac{x+x'}{2} + \frac {y+y'}{2} = 1$

Posted by: mathelot

Citation:

Posté par MacManus

2y' - x' = 2y - x

une autre égalité de ce style permettra de calculer x' et y'

Posted by: MacManus

J'ai aussi la relation :

$\frac{x+x'}{2} + \frac {y+y'}{2} = 1$

d'où : y' + x'= -y-x+2

je fais sans doute n'importe quoi...dsl

Posted by: mathelot

avec ces deux égalités, on calcule x' et y' en fonction de x et y.

Posted by: MacManus

Ok merci !!

Posted by: MacManus

Cela nous donne :

y' = $\frac {y-2x+2}{3}$
x' = $\frac {-4y-x+4}{3}$

est-ce correct?
merci

Posted by: MacManus

d'où la relation matricielle suivante :
on pose: X' le vecteur colonne (x' y') et X le vecteur colonne (x y)

A = $\frac {1}{3}\begin{pmatrix} -1 & -4 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$
B le vecteur colonne (4/3 2/3)
on a : X' = AX + B

???
merci

Posted by: MacManus

Bonjour,

Je souhaiterais savoir si ce que j'ai trouvé est correct ou non pour pouvoir continuer car en fait je ne suis pas très certains de ce que j'avance..

Merci beaucoup :)

Posted by: MacManus

Bonjour à tous,

Quelqu'un pourrait-il m'aider à terminer cet exercice ?

Je vous remercie!