je suis une élève de 1èreS et j'ai un devoir "maison" sur les barycentres à rendre dans quelques jours
, j'ai rédigé ce devoir mais je pense que cette rédaction est imcomplète... :mur: serait-il possible de vérifier les éventuelles fautes voire oublis??? Merci beaucoup par avance. :happy2: Voici l'énoncé du premier problème:
ABC est un triangle. Soit M un point du côté [AB], distinct de A et de B, tel que (vecteur)AM=x(vecteur)AB. N un point du côté [AC], distinct de A et de C, tel que (vecteur)AN=y(vecteur)AC.
1) Démontrer que M est le barycentre de: {(A,1);(B,k)} où k est un nombre fonction de x que l'on précisera.
Ma réponse: Le point M appartient au côté [AB]. Si M est le barycentre de {(A,1);(B,k)} alors:
(vecteur)MA + k (vecteur)MB = vecteur nul.
-x (vecteur)AB + k (vecteur)MB= vecteur nul
-x (vecteur)AB + k(1-x) (vecteur)AB =vecteur nul
-x (vecteur)AB= -k(1-x) (vecteur)AB
-x= -k(1-x)
-x= -k+kx
-k(-x)=-x
k=x/(1-x)
2)Même question avec le point N donc même raisonnement et même rédaction!
3) Soit S l'intersection des droites (BN) et (CM). Démontrer que S est le barycentre de {(A,1);(B,k);(C,k')} .
Réponse: M est le barycentre de {(A,1);(B,k)}
N est le barycentre de {(A,1);(C,k')}
S est l'intersection des droites (BN) et (CM). Les points B,S,N sont alignés, les M,S,C sont aussi alignés.
(vecteur) AN= k'/1=k' (vecteur) AC, on a: (B,k) et (N,k'/1=k')
avec k+k'/1=k';)0. S barycentre de {(B,k);(N,k'/1=k')} or N est le barycentre de {(A,1);(C,k')} donc S est le barycentre de {(A,1);(B,k);(C,k')}.
4) Soit P le barycentre de {(B,k);(C,k')}. Démontrer que (AS) coupe (BC) en P.
Réponse: P le barycentre de {(B,k);(C,k')}. S est le barycentre de {(A,1);(B,k);(C,k')}. Le point S est donc le barycentre de {(A,1);(P,k'')}. Les points A,S et P sont alignés. La droite (AS) passe par le point S, barycentre du triangle et coupe la droite (BC) en un point. Ce point est donc le barycentre des ponts B et C, c'est donc le point P.
5) Exprimer le vecteur BP en fonction du vecteur BC.
Réponse: P le barycentre de {(B,k);(C,k')}, donc (vecteur)BP=k'/k+k'(vecteur)BC.
6) Utiliser les résultats précédents pour résoudre les problèmes suivants. ABC est un triangle et les points I et J sont tels que (vecteur)AI=2/3(vecteur)AB et (vecteur)AJ=1/4(vecteur)AC. Les droites (CI) et (BJ) se coupent en H et la droite (AH) coupe la droite (BC) en K. Déterminer l'abscisse de K sur la droite (B;(vecteur)BC).
Réponse: (vecteur)AI=2/3(vecteur)AB
I est le barycentre de {(A,1);(B,k)}. D'après la question 1, k=x/1-x=2/3*3=2.
(vecteur)AJ=1/4(vecteur)AC.
J est le barycentre {(A,1);(C,k')}. k'=y/1-y=1/4*4/3=1/3.
On a donc: (A,1);(B,2);(C,1/3).
Le point H est le barycentre de {(C,1/3);(I,2/3)}. Or I est le barycentre de {(A,1);(B,2)}. H est donc le barycentre de (A,1);(B,2);(C,1/3).
La droite (AH) coupe la droite (BC) en K. K est le barycentre des points ({B,2);(C,1/3)}. Ainsi, (vecteur)BK=1/7(vecteur)BC.
ENONCE DU 2ème PROBLEME: (+ court heureusement)
Soit un tétradre MABC.
Les points A, B et C sont fixes et M décrit une droite d.
Soit E le milieu de [AM],F le milieu de [BC] et G le milieu de [EF].
1) Déterminer le lieu géométrique des points G de l'espace.
2) Montrer que la droite (MG) perce le plan (ABC) en un point fixe H dont on indiquera la position.
1) A est un point fixe. Lhomothétie de centre A transforme M en E. Le point M décrit la droite d, le point E décrit alors la parallèle à d passant par E : la droite d.
F est le milieu de [BC], cest un point fixe. Lhomothétie de centre F transforme E en G. Lorsque E décrit d, G décrit la droite parallèle à d passant par G.
2) G est le milieu de [EF] ; segment qui joint les milieux E et F des deux côtés opposés [AM] et [BC]. G est donc le centre de gravité du tétraèdre ABCM.
(MG) perce le plan (ABC), plan opposé à M, en son centre de gravité H. H est donc le point de concours des médiatrices du triangle ABC. Les points A,B,C sont des points fixes donc H est un point fixe qui appartient au plan (ABC).
Voilà, si quelqu'un m'aide, je lui dit un grand merci!!!!!!! Merci beaucoup!!
