exo sur derivees

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Posted by: saifert

Bonjour,
voici un probleme que je dois resoudre :

Soit f une fonction de R dans lui-meme, supposee derivable. On suppose de plus que f(0)=0. Montrer qu'il existe une fonction continue g de R dans lui-meme telle que pour tout x € R, f(x)=x.g(x).

Voici, ce que 'jai fait :

En applicant le theoreme de Taylor sur [0,x], pour n = 1 :

f(x)= f(0) + x.f ' (o)/1! + x^2.f ' (c)/2! = x^2.f ' (c)/2

car je sais que f ' (0) = f(0)= 0

et je pose g(x) = f ' (c).x/2

Enfin, je ne suis pas sure, que le raisonnement soit correct, c'est pourquoi je demande de l'aide.
Merci d'avance.


Posted by: tize

Bonjour,
pourquoi f'(0)= 0 ?

pourquoi pas plus simplement g(x)=\frac{f(x)}{x} pour x\neq 0 et g(0)=f'(0) puis prouver qu'ainsi définie g est continue...


Posted by: saifert

Bonjour tize,

Comment montrer que g(0)=f'(0) ?

Le but est de montrer que f(x)= x.g(x) existe, pas que g est continue, c'est une hypothese de l'enonce, ou bien ?










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