Théorème des résidus

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lionel52
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Théorème des résidus

par lionel52 » 01 Avr 2014, 12:55

Bonjour j'essaie de calculer la somme de 1 à l'infini de exp(-n^2)/n^2
Pour cela je dis que la somme complète de -l'infini à l'infni privé de 0 de exp(-n^2)/n^2 vaut

-Résidu(0)(exp(-z²)/z²*pi*cotan(pi.z))

Cependant je trouve 1+ pi²/3 pour ce résidu tandis que la valeur de la somme est de 0.74 environ

Où est mon erreur,

Merci d'avance!



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Ben314
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par Ben314 » 01 Avr 2014, 13:15

Salut,
Pour pouvoir "dire"quelque chose de il faudrait peut-être commencer par s'intéresser à la convergence de cette intégrale.
Or, au voisinage de 0 est équivalent à donc...
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Ben314
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par Ben314 » 01 Avr 2014, 13:18

Salut,
Tu as utilisé quels contours pour appliquer le théorème des résidus ?
As tu vérifié que l'intégrale de ta fonction sur les contours en question tendait bien vers 0 (pour pouvoir affirmer que la somme des résidus tend vers 0) ?
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lionel52
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par lionel52 » 01 Avr 2014, 13:31

Ben314 a écrit:Salut,
Tu as utilisé quels contours pour appliquer le théorème des résidus ?
As tu vérifié que l'intégrale de ta fonction sur les contours en question tendait bien vers 0 (pour pouvoir affirmer que la somme des résidus tend vers 0) ?


Bonjour!
Je n'utilise aucun contour mais cette formule :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_r%C3%A9sidus#Premier_type_2

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Ben314
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par Ben314 » 01 Avr 2014, 13:55

lionel52 a écrit:Bonjour!
Je n'utilise aucun contour mais cette formule :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_r%C3%A9sidus#Premier_type_2

Quand on "utilise des formules", ben c'est pas con de les comprendre avant : ça évite de les utiliser à tort et à travers.

La formule des résidus, elle dit (vite fait) que .
Pour en déduire que la somme des résidus fait zéro, ben il faut une (ou des) hypothèses permettant de montrer que l'intégrale fait 0.
Sur C privés de petits disques de même rayon centrés sur les entiers, la fonction cotan est bornée.
Lorsque tu intègre sur des cercle (ou tout autre contour) de plus en plus grand un truc du style f(z)cotan(pi.z), une condition suffisante (et évidente) pour que les intégrales tendent vers 0, c'est que f(z) soit en o(1/|z|) lorsque z tend vers l'infini.
Ce n'est trés clairement pas le cas de la fonction exp(-z^2)/z^2 dont le module vaut vaut exp(t^2)/t^2 pour z=i.t et donc qui tend à toute vitesse vers... l'infini.
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lionel52
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par lionel52 » 01 Avr 2014, 14:01

Ben314 a écrit:Quand on "utilise des formules", ben c'est pas con de les comprendre avant : ça évite de les utiliser à tort et à travers.

La formule des résidus, elle dit (vite fait) que .
Pour en déduire que la somme des résidus fait zéro, ben il faut une (ou des) hypothèses permettant de montrer que l'intégrale fait 0.
Sur C privés de petits disques de même rayon centrés sur les entiers, la fonction cotan est bornée.
Lorsque tu intègre sur des cercle (ou tout autre contour) de plus en plus grand un truc du style f(z)cotan(pi.z), une condition suffisante (et évidente) pour que les intégrales tendent vers 0, c'est que f(z) soit en o(1/|z|) lorsque z tend vers l'infini.
Ce n'est trés clairement pas le cas de la fonction exp(-z^2)/z^2 dont le module vaut vaut exp(t^2)/t^2 pour z=i.t et donc qui tend à toute vitesse vers... l'infini.



Ok merci j'ai compris j'avais zappé le comportement de exp(-z²) en l'infini...

wserdx
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par wserdx » 02 Avr 2014, 18:22

Juste par curiosité et si j'ai bien compris : l'intégrale (curviligne sur le cercle de rayon n+1/2)
est quand même convergente et tend vers une limite fine (non nulle) quand tend vers qui vaut quelque chose comme (à un facteur près...)
Y aurait-il moyen de calculer cette limite directement à partir de l'intégrale?

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Ben314
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par Ben314 » 02 Avr 2014, 19:00

wserdx a écrit:Y aurait-il moyen de calculer cette limite directement à partir de l'intégrale?
Je ne pense pas qu'on puisse obtenir la valeur simplement (sans utiliser le théorème des résidus).
Et ce qu'il y a de sûr, c'est que ce n'est pas à l'aide de majoration de la fonction (contrairement au cas "classique" ) qu'on montrera quoi que ce soit vu qu'elle prend des valeurs extrêmement grandes pour les z aux environs de l'axe des imaginaires pur.
Au minimum, il faudrait commencer par couper l'intégrale en deux sur les deux demi cercles Ré(z)>0 et Ré(z)<0 et "recoller" les morceaux (par changement de variable) pour voir si ces valeurs "très grandes" ne se compensent pas l'une l'autre...

En résumé, les cas que je connais où on utilise ce type de raisonnement, on "maitrise" la valeur de l'intégrale uniquement par majoration (en module) de la fonction et donc on est dans un cas où on arrive à prouver que l'intégrale tend vers 0 et pas vers autre chose.
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wserdx
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par wserdx » 03 Avr 2014, 09:35

Ok merci pour cette précision. Par curiosité je vais essayer ta méthode, mais je crains effectivement que on ne puisse pas aboutir!

 

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