Suites réelles

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Maxime96
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Suites réelles

par Maxime96 » 16 Fév 2015, 00:50

Bonjours a tous,
J'ai besoin d'aide sur un exercice :

On considère la suite (wn) definie sur |N* par wn = n^n / n!
Montrer que (wn) est convergente et determiner sa limite en +inf
On sait d'après les questions précédentes que wn+1 / wn = (1+1/n)^n et que c'est supérieur ou égale a 2
J'ai prouvé que wn+1 / wn est croissante
Mais je n'arrive pas à prouver qu'elle converge

Et je dois aussi determiner un majorant de la suite vn =( 1/n racine nième de n! ), n supérieur ou égal a 6. Ça a l'air de tendre vers 0 mais je ne sais pas quoi faire

Merci de votre attention



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chombier
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par chombier » 16 Fév 2015, 00:59

Maxime96 a écrit:Bonjours a tous,
J'ai besoin d'aide sur un exercice :

On considère la suite (wn) definie sur |N* par wn = n^n / n!
Montrer que (wn) est convergente et determiner sa limite en +inf
On sait d'après les questions précédentes que wn+1 / wn = (1+1/n)^n et que c'est supérieur ou égale a 2
J'ai prouvé que wn+1 / wn est croissante
Mais je n'arrive pas à prouver qu'elle converge

Et je dois aussi determiner un majorant de la suite vn =( 1/n racine nième de n! ), n supérieur ou égal a 6. Ça a l'air de tendre vers 0 mais je ne sais pas quoi faire

Merci de votre attention

Si, pour tout n, , alors et ta suite ne risque pas de converger (car )

Je suppose donc que tu cherches à démontrer la convergence de

As-tu essayé de mettre la puissance sous forme exponentielle, en utilisant le fait que ?

Maxime96
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par Maxime96 » 16 Fév 2015, 01:04

chombier a écrit:Si, pour tout n, , alors et ta suite ne risque pas de converger (car )

Je suppose donc que tu cherches à démontrer la convergence de

As-tu essayé de mettre la puissance sous forme exponentielle (a^b = e^(b*ln(a)) ?


Dans mon énoncé il est bien dit de prouver que la suite wn est convergente. Mais j'ai aussi trouver qu'elle ne l'était pas et qu'elle tendais vers +inf

( le passage à l'exponentiel m'a servis a prouvé que wn est croissante )

emdro
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par emdro » 16 Fév 2015, 01:04

Bienvenu sur le forum !


Maxime96 a écrit:On considère la suite (wn) definie sur |N* par wn = n^n / n!
Montrer que (wn) est convergente et determiner sa limite en +inf

Il doit y avoir une erreur quelque part, car la suite (wn) est divergente : elle tend vers l'infini.

Maxime96 a écrit:On sait d'après les questions précédentes que wn+1 / wn = (1+1/n)^n et que c'est supérieur ou égale a 2
J'ai prouvé que wn+1 / wn est croissante
Mais je n'arrive pas à prouver qu'elle converge


De quelle suite parles-tu ?
est effectivement convergente (vers e), mais comme je te l'ai dit, diverge.

Edit : j'arrive après la bataille !

Maxime96
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par Maxime96 » 16 Fév 2015, 01:07

Oui cela doit être une erreur de l'énoncé

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chombier
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par chombier » 16 Fév 2015, 01:07

Maxime96 a écrit:Dans mon énoncé il est bien dit de prouver que la suite wn est convergente. Mais j'ai aussi trouver qu'elle ne l'était pas et qu'elle tendais vers +inf

( le passage à l'exponentiel m'a servis a prouvé que wn est croissante )


Si , la suite étant à valeurs positive, tu sais déjà que w_n est croissante.

Tu dois mettre sous forme exponentielle et travailler les limites là dessus

diverge vers plus l'infini

converge

Robic
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par Robic » 16 Fév 2015, 01:09

(J'ai mis dix minutes à taper mon message parce que j'ai été interrompu... Résultat : plein d'interventions avant la mienne ! Désolé s'il y a des redites, du coup...)

Qu'entends-tu par « convergente » ? Cette suite me semble « converger » vers l'infini.

J'ai prouvé que wn+1 / wn est croissante

Non, tu as prouvé que wn+1 / wn est supérieur à 2, ce qui prouve entre autres que (wn) est croissante. Et c'est très intéressant pour démontrer que ça tend vers l'infini.

Imagine que wn+1 / wn soit pile poil égal à 2. Ça voudrait dire que la suite (wn) est une suite géométrique de raison 2 (et tu sais quelle est sa limite). En fait il n'y a pas égalité mais >=, donc tu vas pouvoir comparer wn avec une suite géométrique...

Pour le second problème, figure-toi que vn, c'est presque wn à pas grand chose près. Par exemple essaie de rentrer le n du dénominateur dans la racine énième...

------
Après lecture des messages ci-dessus : je ne pense pas qu'il soit utile de déterminer la limite de . On se contente de savoir que c'est >=2. Visiblement, cet exercice n'a pas pour but de déterminer cette limite mais d'établir la formule de Stirling ou un résultat proche.

Maxime96
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par Maxime96 » 16 Fév 2015, 01:11

Merci de vos réponses
et sinon avez vous des idées sur cette question ?

On considère la suite (wn) definie sur |N* par wn = n^n / n!
Montrer que (wn) est convergente et determiner sa limite en +inf
On sait d'après les questions précédentes que wn+1 / wn = (1+1/n)^n et que c'est supérieur ou égale a 2
J'ai prouvé que wn+1 / wn est croissante
Mais je n'arrive pas à prouver qu'elle converge

Robic
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par Robic » 16 Fév 2015, 01:12

sinon avez vous des idées sur cette question ?

Relis tous les messages ci-dessus !

De toute façon tu as dit :
Dans mon énoncé il est bien dit de prouver que la suite wn est convergente. Mais j'ai aussi trouver qu'elle ne l'était pas et qu'elle tendais vers +inf

Oui cela doit être une erreur de l'énoncé

Et tu as raison. Donc pas besoin d'essayer de prouver qu'elle converge (sinon vers l'infini).

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chombier
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par chombier » 16 Fév 2015, 01:14

Robic a écrit:Pour le second problème, figure-toi que vn, c'est presque wn à pas grand chose près. Par exemple essaie de rentrer le n du dénominateur dans la racine énième...


Ca ne m'aide pas beaucoup, en effet , mais comme w diverge...

EDIT : en VRAI,

Robic
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par Robic » 16 Fév 2015, 01:18

Ah oui, zut, en effet ça ne permet pas de conclure, du coup...

Du coup la relation entre (vn) et (wn) va peut-être plutôt servir ensuite pour en déduire quelque chose...

Maxime96
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par Maxime96 » 16 Fév 2015, 01:19

Je dois avouer que je ne comprend pas pourquoi v_n = sqrt[n]{w_n} ?

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par chombier » 16 Fév 2015, 01:23

Maxime96 a écrit:Je dois avouer que je ne comprend pas pourquoi v_n = sqrt[n]{w_n} ?



Je m'a trompé


EDIT : Merci ROBIC et Emdro :)

Robic
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par Robic » 16 Fév 2015, 01:24

C'est pour l'instant une voie de garage, mais ça se trouve ça va servir plus loin (ce serait étonnant qu'on ait défini ces deux suites sans faire le lien entre elles). En tout cas ce n'est pas ça qui va permettre de calculer la limite de vn, en effet.

Conjecture après calcul à la calculatrice : (vn) a l'air décroissante, donc pour trouver un majorant il suffit peut-être de démontrer qu'elle est décroissante et alors le majorant sera v1. (Démontrer que c'est décroissant m'a l'air particulièrement compliqué...)

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par chombier » 16 Fév 2015, 01:29

Robic a écrit:C'est pour l'instant une voie de garage, mais ça se trouve ça va servir plus loin. En tout cas ce n'est pas ça qui va permettre de calculer la limite de vn, en effet.

Ah mais les voies de garage c'est intéressant, ça peut servir plus tard en effet, ça permet de voir que souvent en maths on doit chercher dans plusieurs directions avant de trouver la bonne : pour savoir que c'est une voie de garage, il faut y être allé, c'est comme ça qu'on finit par trouver l'issue :lol3:

Maxime96
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par Maxime96 » 16 Fév 2015, 01:31

La limite de n^1/n = 1 donc (n^1/n)/n tend vers 0 ?

emdro
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par emdro » 16 Fév 2015, 01:31

Re-bonsoir,

vous vous égarez ! C'est bel et bien
et non ...

Robic
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par Robic » 16 Fév 2015, 01:32

Ah, tu as fait la même erreur que moi il y a cinq minutes : ce n'est pas n^1/n qu'il faut étudier mais (n!)^1/n.

Emdro : merci de nous remettre dans le droit chemin ! Il me semblait bien que, la première fois que j'avais écrit le calcul, je m'étais dit : OK ça doit s'en déduire... Comment ai-je pu m'embrouiller tout seul ?... :mur:

Avec cette rectification, et sachant que (wn) est une suite croissante, il me semble qu'il n'est pas trop difficile d'en déduire que (vn) est décroissante, et ainsi prendre v1 comme majorant.

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par chombier » 16 Fév 2015, 01:33

Maxime96 a écrit:La limite de n^1/n = 1 donc (n^1/n)/n tend vers 0 ?


Exact, mais c'est (n!^1/n)/n en l'occurence !

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chombier
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par chombier » 16 Fév 2015, 01:36

emdro a écrit:Re-bonsoir,

vous vous égarez ! C'est bel et bien
et non ...

Arrrgh c'est moi qui t'ait embrouillé Robic !!!! MEA CULPA

Et du coup ta remarque est des plus pertinentes :)

 

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