Spectre d'une matrice triangulaire

par **Pierrot75** » 06 Nov 2007, 13:04

Bonjour à tous.

Ma question n'en est pas vraiment une puisque je veux juste m'assurer de l'exactitude de la réponse donnée par le professeur à un exercice fait en classe.

Il s'agissait de la matrice M=
(1 2) dont il fallait trouver le spectre.
(3 1)

Après transformations élémentaires sur la matrice (M -lambda I2), on arrive à la matrice (M-lambda I2)=
(3 1-lambda )
(0 6-(1-lambda)²)

Le prof indique alors que Sp(M)= {1- racine de 6;1+racine de 6}

N'a t'il pas oublié 3 dans le spectre? En effet, d'après un théorème, le spectre d'une matrice triangulaire T est l'ensemble dont les éléments sont les coéfficients diagonaux de T. Il devrait donc y avoir 3.

En espèrant que vous m'excuserez le manque de clarté dans mes matrices, je vous remercie d'avance.
Pierre.

par **Pierrot75** » 06 Nov 2007, 14:32

Je ne comprends pas pourquoi il faut calculer 3*(6-(1-lambda)²)=0 pour trouver les valeurs de lambda. Pourrais tu être plus précis stp ?

Dans ce cas, 3 n'appartient pas au spectre de spectre de M n'est ce pas ?

par **Pierrot75** » 06 Nov 2007, 15:37

Est-ce que quelqu'un pourrait me dire si 3 appartient à Sp(M) au final svp ?

par **Pierrot75** » 06 Nov 2007, 18:59

Oui, le spectre est l'ensemble des valeurs propres de M.

Mais ce qui me pose problème, c'est le théorème selon lequel le spectre d'une matrice triangulaire est l'ensemble dont les éléments sont les coefficients diagonaux de cette matrice triangulaire. Ici, 3 est bien un coefficient diagonal de la matrice diagonale M-Lambda I2. Donc pourquoi n'apparait-il pas dans le spectre (dans la réponse donnée par mon prof).

Merci de votre patience :hum: :zen:

par **Pierrot75** » 06 Nov 2007, 19:44

C'est bon !!
J'ai fini par comprendre seul: ma matrice ici n'étant pas symétrique, je ne peux pas appliquer ce théorème. Quel boulet je fais. :zen:

merci quand même à vous.
@ bientôt.

par **B_J** » 06 Nov 2007, 20:30

Salut;
une petite precision : une matrice carree de taille n ne peut avoir plus de n valeurs propres

par **Pierrot75** » 06 Nov 2007, 21:24

Rain' a écrit:Rien à voir avec la symétrie.

Le spectre d'une matrice M triangulaire est composé de ces éléments diagonaux. Mais ici M=
(1 2)
(3 1)

En quoi elle est triangulaire ?

Voilà pourquoi, je dis "quel boulet je fais" :marteau: :zen:
Je crois d'ailleurs que tu t'es trompé: je pense que tu voulais dire "En quoi elle est symétrique?".

merci à toi en tout cas.

par **Pierrot75** » 06 Nov 2007, 23:37

Il y a quand même un théorème qui dit que le spectre d'une matrice symétrique T est l'ensemble dont les éléments sont les coefficients diagonaux de T...

par **duchere** » 07 Nov 2007, 00:12

La preuve :

Les trois vecteurs colonnes de

sont au signe près les vecteurs de la base canonique

Donc 2 n'est pas valeur propre.

cqfd

par **Pierrot75** » 07 Nov 2007, 09:42

Rain' a écrit:Non tu as un théorème qui dit :

Si M est TRIANGULAIRE, son spectre est composé de ses coefficients diagonaux

et un autre :

Si M est symétrique réelle, alors M est diagonalisable.

Pourquoi tu veux pas me croire, ça fait trois fois que je le dis ?

:triste: :++: Désolé :briques:

Donc ce théorème (avec une matrice triangulaire :++: ), on peut l'appliquer quand? Seulement quand l'énoncé donne une matrice triangulaire ou après quelques transformations élémentaires ?

par **Pierrot75** » 07 Nov 2007, 09:43

duchere a écrit:La preuve :

Les trois vecteurs colonnes de sont au signe près les vecteurs de la base canonique

Donc 2 n'est pas valeur propre.

cqfd

Je ne comprends pas les calculs que tu fais pour avoir 1 et 1 sur la diagonale en haut à droite et en bas à gauche. :hum:

par **Pierrot75** » 07 Nov 2007, 09:47

Duchere, puisque ta matrice est symétrique, elle est diagonalisable.

Donc, ensuite, on peut trouver les valeurs propres en étant sûr qu'il y en a? C'est à ca que sert ce théorème?

par **Pierrot75** » 07 Nov 2007, 09:59

Sauf erreur de ma part, je trouve que 1 fait partie du spectre de M.

Ensuite, je cherche d'autres valeurs propres (différentes de 1). Et c'est là que je me retrouve avec lambda² + 4lambda - 3 = 0 et que je bloque :cry:

par **Pierrot75** » 07 Nov 2007, 10:21

Par exemple, j'ai trouvé cette matrice en exos dans un bouquin:

Moi les valeurs propres que je trouve sont -1; (-a-1-racine de(a²-2a+9)) / -2; (-a-1 + racine de(a²-2a+9)) / -2.

Je pense que je me suis planté: l'énoncé stipule qu'il doit y avoir 3 valeurs propres. Je pense m'être gouré dans les calculs à la fin...Pourriez vous me mettre sur la voie?

par **Pierrot75** » 07 Nov 2007, 12:38

En fait, les deux dernières valeurs propres que je trouve sont le résultat que je trouve quand je calcule delta...

par **duchere** » 07 Nov 2007, 14:52

On peut aussi dans cette exemple remarquer que
est valeur propre de multiplicité 1 en calculant M-I

et en déduire que les deux autres sont solutions de l'équation

X²-Tr(M)X+Det(M)=0 càd X²-(a+2)X+(a-2)=0

Delta=(a+2)²-4(a-2)=a²+4+4a-4a+8=a²+16>0

D'où

Il me semble, non ?

par **duchere** » 07 Nov 2007, 14:57

Pierrot, pour ce qui est de ton théorème,
tout dépend ce que tu appelles opérations élémentaires.

Si pour toi, ça veut dire que lorsqu'on fait une opération élémentaire sur les colonnes, on fait l'opération inverse sur les lignes (cf. sujet centrale 2006 PSI je crois), alors oui au final, la matrice que tu obtiens est semblable à ta matrice de départ.

Donc si tu obtiens une matrice Triangulaire, en effet, les valeurs propres sont les éléments de la diagonale, puisque le polynôme caractéristique est indépendant de la base choisie.

Si, en revanche, pour toi, les opérations élémentaires, c'est simplement faire des opérations successives sur les colonnes jusqu'à avoir une matrice triangulaire.

Là, non, car toute matrice d'un automorphisme marcherait....

Voilà.

Bonne journée.

par **Pierrot75** » 07 Nov 2007, 15:54

Ok, merci à vous deux de prendre du temps pour m'expliquer.

Moi je débute en diagonalisation et la méthode que l'on nous a donné pour trouver le spectre d'une matrice c'est de trouver les réels lambda pour lesquels le système (M-Lambda In)X=0 admet d'autres solutions que la solution nulle, ce qui équivaut à (M-Lambda In) non inversible.

Ensuite, on fait des transformations élémentaires (échange de lignes etc) car elles conservent le caractère d'inversibilité, de manière à obtenir une matrice triangulaire.

Voilà pourquoi j'ai du mal à suivre vos calculs: moi lorsque j'obtiens une matrice triangulaire dans cet exo: ma matrice est comme ceci:
(1, 1, a-lambda)
(0, 1-lambda, 1)
(O,O, 2-(1-lambda)(a-lambda) )

Donc je suis d'accord avec la valeur propre 1 mais pour le reste, je ne vois pas comment vous faites :marteau:

par **Pierrot75** » 07 Nov 2007, 19:29

Rain' a écrit:C'est exact et donc tu cherches dans ton cas les valeurs de lambda tel que ta matrice ne soit pas inversible, c'est à dire telles que 1*(1-lambda)*(2-(1-lambda)(a-lambda)) s'annulle.

Au final tu as le même polynôme que moi.

Merci bien :id:

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