Reste de la division euclidienne

[Anonyme]

Bonjour et bonne rentrée à tous !

Vilà, j'ai un problème avec un exercice sur le reste d'une division euclienne dont voici l'énoncé :

Quel est le reste de la division euclidienne de $(X^n+1)^2 par (X+1)^2$ par $(X+1)^2$

D'habitude, je n'ai jamais de problème avec ce genre d'exo car B est de la forme (X+a)(X+b) donc on a 2 équations et 2 inconnus et le problème est reglé.

Donc mon cas, B admet une racine double donc je n'ai qu'une équation et 2 inconnues !

$((-1)^n+1)^2=-p+q$

Pouvez-vous m'aider à débloquer ce problème.
($ indique le début et la fin de l'équation)
Merci beaucoup

[palmade]

Si je comprends bien tes notations, tu cherches le reste de la forme px+q
Pour x=-1, -p+q=((-1)^n+1)^2
Comme c'est une racine double de (x+1)^2, elle annule aussi sa dérivée, donc la dérivée du dividende doitêtre égale à celle du reste en ce point: la dérivée du dividende est 2n(x^n+1)x^(n-1)
donc 2n((-1)^n+1)(-1)^(n-1)=p
Si n est impair p=q=0
Si n est pair, p=-4n et q=4-4n

[Anonyme]

Salut, pour le cas n est impair, j'ai compris que p=q=0

Mais pour le cas n est pair, c'est plus compliqué

Avec Maple, j'ai une relation de récurrence pour le reste :

4(-(n-1)-nx)

Mais je ne sais pas comment le démontrer.
Faut-il utiliser la formule de Taylor des polynomes ?

Merci pour votre aide

[palmade]

Avec Maple, j'ai une relation de récurrence pour le reste :

4(-(n-1)-nx)

Mais je ne sais pas comment le démontrer.

C'est exactement ce que j'ai démontré plus haut (et ce n'est pas une relation de récurrence, mais une valeur exacte!)