Oui, c'est (à peu prés) ça.
En fait, si on veut un peu rentrer dans les détails, dans le cas d'une équa-diff homogène (du second degré à coefficients réels constants) si ton polynôme caractéristique a un discriminant strictement positif, il va avoir deux racines réelles
et
et :
- Les solutions
complexes seront les fonction de la forme
où
et
sont deux constantes
complexes arbitraires.
- Les solutions
réelles seront les fonction de la forme
où
et
sont deux constantes
réelles arbitraires.
Donc dans ce cas là, on se dit que c'est pas la mer à boire de passer des solutions réelles aux solutions complexes...
Mais par contre, si le discriminant est strictement négatif, alors le polynôme caractéristique va avoir des racines
complexes (conjuguées)
et
(mais pas de racines réelles) et :
- Les solutions
complexes seront les fonction de la forme
où
et
sont deux constantes
complexes arbitraires.
(donc pour le cas complexe, c'est exactement la même chose que lorsque le discriminant était >0 et c'est normal vu que dans C, dans les deux cas, le polynôme admet deux racines).
Par contre, pour le cas réel, ça change pas mal de truc : on serait évidement tenté d'écrire que les solutions réelles, c'est la même chose où on prend les constantes
et
réelles, mais ça ne marche pas du tout car, vu que
et
ne sont pas réel,
et
ne le sont sans doute pas non plus donc ce
n'est pas en prenant
et
réels qu'on va obtenir que
est réel.
Il faut donc regarder de plus près les parties réelles et imaginaires des deux
en revenant à la définition de ce qu'est l'exponentielle d'un nombre complexe.
Et après quelques lignes de calcul, on fini par trouver que, dans ce cas, les solution réelles de l'équation sont les fonctions de la forme
où
et
sont la partie réelle et imaginaire de
(ou de
, mais ça revient au même vu qu'ils sont conjugués) et où
et
sont des constantes réelles arbitraires.
Formule qu'on peut aussi (via quelques formules de trigo) réécrire sous la forme
où
et
sont deux constantes réelles arbitraires.