Norme

[bajda86]

Salut tout le monde , j'espere que vous etes trés bien :)
voila j'ai un devoir maison et j'ai besoin de votre aide svp
voici l'exercice :
Soit (E , ||.||) un espace normé .F s e v de E et a ;) E. Supposons que la dim de F est fini
;)_a=;)inf;)_x;)F||x-a|| et B_a={ x;)F :||x||;)2||x||}.
Verifier que ;)inf;)_(x;)B_a )||x-a||;)||a||
Montre que ;) x;)F_(;)B_a )||x-a||;)||a||
En deduire que ;)_a=;)inf;)_(x;)B_a )||x-a||

[Trident]

Salut tout le monde , j'espere que vous etes trés bien
voila j'ai un devoir maison et j'ai besoin de votre aide svp
voici l'exercice :
Soit (E , ||.||) un espace normé .F s e v de E et a E. Supposons que la dim de F est fini
_a=;)inf;)_x;)F||x-a|| et B_a={ x;)F |x||;)2||x||}.
Verifier que inf;)_(x;)B_a )||x-a||;)||a||
Montre que x;)F_(;)B_a )||x-a||;)||a||
En deduire que _a=;)inf;)_(x;)B_a )||x-a||

L'ensemble B_a, c'est celui-ci :

?

Car tout le monde est plus petit que son double donc ce serait F tout entier. :marteau:

[bajda86]

L'ensemble B_a, c'est celui-ci :

?

Car tout le monde est plus petit que son double donc ce serait F tout entier. :marteau:

Soit (E , ||.||) un espace normé .F s e v de E et a;)E. Supposons que la dim de F est fini a = inf || x - a || avec x F et Ba ={x F : ||x|| 2 ||a|| }
1) Verifier que inf ||x-a||;) ||a|| ( x Ba)
2) on veut montrer que x;)F\Ba ||x-a||;)||a||
3) En déduire que a = inf || x - a || avec x Ba
4) Dire pourquoi Ba est compact
j'espere que mnt c'est clair

[bajda86]

Soit (E , ||.||) un espace normé .F s e v de E et a;)E. Supposons que la dim de F est fini a = inf || x - a || avec x F et Ba ={x F : ||x|| 2 ||a|| }
1) Verifier que inf ||x-a||;) ||a|| ( x Ba)
2) on veut montrer que x;)F\Ba ||x-a||;)||a||
3) En déduire que a = inf || x - a || avec x Ba
4) Dire pourquoi Ba est compact
j'espere que mnt c'est clair

:mur: oups

[Trident]

C'est mieux tout de même !

1) On a inf ||x-a|| ( x Ba) = a (question 2) tandis que ||x-a|| <=a (question 1 car x Ba)

Du coup, c'est clair

Pour la question 4, faut connaître ce théorème, je sais pas si vous l'avez déjà vu :

Soit (E, ||.||) un espace vectoriel normé de dimension finie et A un sous ensemble de E.
Alors A est compact si et seulement si A est fermé borné.

Dans ton exo, F est un espace vectoriel de dimension finie et Ba est un sous ensemble de A clairement borné (inclus dans la boule B(0, 2a)) et fermé (prendre une suite x_n convergente vers x et montrer que la limite est dans Ba (utiliser que l'application norme est continue)).

Donc Ba est compact.
Sauf erreur de ma part.
Là, je dois y aller, si tu as des questions en plus, je répondrai demain peut être ! :happy2:

[bajda86]

[quote="Trident"]C'est mieux tout de même !

1) On a inf ||x-a|| ( x Ba) = a (question 2) tandis que ||x-a|| =2||a|| mais cela ne veut rien dire ..

[Trident]

Voilà et on a donc ||x|| - ||a|| > 2||a|| - ||a|| = ||a||. Et donc du coup, on a| |x-a|| > |[||x|| - ||a||]|| d'après l'inégalité que je t'ai ecrite.

[bajda86]

svp j'ai pas encore bien compris la 4eme question , tu peux m'expliquer exactement comment faire pour démontrer que Ba est fermé , et merci pour ts :happy2: