Norme, matrice et espace vectoriel

[Faf]

Bonsoir, voilà je bloque sur un exercice de maths que l'on m'a posé pour demain, voici l'intitulé:

E=Mn(C) (C correspondant aux complexes)

1. Démontrer qu'il n'existe pas de norme || . || sur E telle que, pour toutes matrices A et B : ||AB||=||BA||

2. Démontrer qu'il n'existe pas de norme || . || sur E telle que 2 matrices semblables aient toujours la même norme.
Fin.

Comme || . || est une norme on a bien sûr :
||A||;)0, ||A||=0 ;) A=0
||kA|| = |k| ||A|| ;) k ;) R
||A + B|| ;) ||A|| + ||B||, l'inégalité triangulaire.

Et bien sûr AB est différent de BA, les matrices n'étant pas commutatives, mais n'ayant aucune information sur la norme des matrices, je ne vois absolument pas dans quelle direction partir....

[Doraki]

Essaye de trouver 2 matrices A et B non commutatives,
telles que AB soit nulle, et que BA soit non nulle.

[Faf]

Dans ce cas si je prend :
A |a 0 0 | et B |0 0 0 |
. |b 0 0 | |0 d 0 |
. |c 0 0 | |0 0 0 |
cela suffit? parce que l'on obtient alors AB= la matrice nulle mais BA est telle que :
|0 0 0 |
|bd 0 0 |
|0 0 0 |
en revanche est ce que leurs normes sont toujours différentes, parce qu'on peut leur donner diverses définitions.
Mais pour la deuxième question, je vois toujours pas, on sait que A et B sont semblables, soit PBP-1=A et il faut prouver que ||B||est différent de||A||, dans au moins un cas, ai-je le droit de dire ||PBP-1||=||A||? Mais même avec cette information, je ne sais par où continuer.

[Doraki]

D'après ce qu'on sait sur la norme y'a plusieurs moyens de trouver M et M' avec ||M|| <> ||M'||.

Dans la question 1, M = 0 et M' <> 0.

Pour la question, on peut utiliser le fait que ||2M|| = 2||M||, ça dit que
si M est non nulle, ||2M|| <> ||M||.

[Ben314]

Salut,
Pour le 2); je vois pas bien quelle est l'idée d Doraki...
La seule qui me vient à l'esprit est un peu compliquée :
Si deux matrice semblables avaient toujours la même norme alors, pour toutes matrice A et B avec B inversible on aurait ||AB||=||BA|| vu que BA=B(AB)B-1 est conjugué à AB.
Par densité des matrices inversibles, on conclue que ||AB||=||BA|| pour toutes matrice A et B, ce qui contredit le 1).

[Doraki]

Ah oui j'ai pensé à autre chose, ce que j'ai dit ne peut pas marcher.

[Faf]

Merci pour vos réponses, cela m'a bien aidé. Pour la question 2, le problème c'est la densité, cette notion m'échappe un peu, hormis qu'elle correspond à l'adhérence d'un sous espace vectoriel, à l'espace vectoriel tout entier.

[girdav]

Tu peux écrire la densité sans en parler en prenant . Ces matrices sont inversibles à partir d'un certain rang. Tu peux faire tendre vers l'infini sans souci, l'opération de multiplication à gauche ou à droite est continue, de même que la norme.

[Merina]

slt , je veux connaitre la dérivée de l'application ||Ax-b||^2 ou A:une matrice (n,n)
b:un vecteur (n,1)
si qlq peut m'aider
merci