Matrice et norme

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
Maxmau
Membre Irrationnel
Messages: 1149
Enregistré le: 19 Mar 2008, 12:11

par Maxmau » 31 Oct 2011, 15:50

GagaMaths a écrit:Merci !
Par contre pr le 1/, quand tu dis que c'est la norme 1 de Av, le problème c'est que i va de 1 jusqu'à 250, alors qu'à priori
Av = (ax1+by1+c, ax2+by2+c, ax2+by2+c)
donc ||Av||_1 = ax1+by1+c + ax2+by2+c + ax2+by2+c
car A est 3*3 ...


Si A est une 250x3 (250 lignes 3 colonnes) on peut en extraire 3 lignes indépendantes (au 3 points non alignés) et montrer que l'inégalité ||Av|| >= K||v|| est encore vraie dans ce cas et
||Av||_1 = ax1+by1+c + ax2+by2+c + ax3+by3+c +...etc...



GagaMaths
Membre Relatif
Messages: 316
Enregistré le: 29 Oct 2011, 15:28

par GagaMaths » 31 Oct 2011, 22:56

Maxmau a écrit:Si A est une 250x3 (250 lignes 3 colonnes) on peut en extraire 3 lignes indépendantes (au 3 points non alignés) et montrer que l'inégalité ||Av|| >= K||v|| est encore vraie dans ce cas et
||Av||_1 = ax1+by1+c + ax2+by2+c + ax3+by3+c +...etc...


ok!
alors en fait ce que j'ai fait c'est que je peux donc minorer le 1er terme de la somme, sans les ln...
du coup j'ai F(v) >= Av >= (1/K)||v||.

Maintenant il me reste à minorer de la même façon les autres termes en ln...

j'ai regroupé les logarithmes, j'obtiens donc :

-Somme ln(axi+byi+c) + Somme ln(ki!)
= Somme (ln((ki!)/(axi+byi+c)))


Mais je ne sais pas si j'ai bien fait de regrouper comme ça !...
Je n'arrive pas à aboutir à quelque chose !!

Maxmau
Membre Irrationnel
Messages: 1149
Enregistré le: 19 Mar 2008, 12:11

par Maxmau » 01 Nov 2011, 10:48

[quote="GagaMaths"]
Soit F(a,b,c) = Somme((axi+byi+c)-ln(axi+byi+c)) + Somme ln(ki!)
avec tous les xi, yi, ki > 0, (a,b,c) dans R3.
QUOTE]

(axi+byi+c)-ln(axi+byi+c) = (axi+byi+c)( 1 - ln(axi+byi+c)/(axi+byi+c))
1 - ln(x)/x est minoré par une constante positive sur (0,+infini)

GagaMaths
Membre Relatif
Messages: 316
Enregistré le: 29 Oct 2011, 15:28

par GagaMaths » 01 Nov 2011, 12:40

Maxmau a écrit:
GagaMaths a écrit:Soit F(a,b,c) = Somme((axi+byi+c)-ln(axi+byi+c)) + Somme ln(ki!)
avec tous les xi, yi, ki > 0, (a,b,c) dans R3.
QUOTE]

(axi+byi+c)-ln(axi+byi+c) = (axi+byi+c)( 1 - ln(axi+byi+c)/(axi+byi+c))
1 - ln(x)/x est minoré par une constante positive sur (0,+infini)


alors j'ai étudié la fonction 1 - lnx /x et je trouve qu'elle est décroissante et tend vers 1 quand x tend vers +oo, donc 1 - lnx/ x est minorée par 1.
donc :

F(a,b,c) = Somme((axi+byi+c)-ln(axi+byi+c)) + Somme ln(ki!)
= Somme( (axi+byi+c)( 1 - ln(axi+byi+c)/(axi+byi+c)) ) + Somme ln(ki!)
>= Somme( (axi+byi+c)) + Somme ln(ki!)
>= Av + Somme ln(ki!)
>= (1/K)||v|| + Somme ln(ki!)

Maxmau
Membre Irrationnel
Messages: 1149
Enregistré le: 19 Mar 2008, 12:11

par Maxmau » 01 Nov 2011, 13:55

OK
Il teste à faire tendre la norme de v vers +infini

GagaMaths
Membre Relatif
Messages: 316
Enregistré le: 29 Oct 2011, 15:28

par GagaMaths » 01 Nov 2011, 14:09

Maxmau a écrit:OK
Il teste à faire tendre la norme de v vers +infini



Merci beaucoup Maxmau !!

GagaMaths
Membre Relatif
Messages: 316
Enregistré le: 29 Oct 2011, 15:28

par GagaMaths » 01 Nov 2011, 16:24

sauf qu'on avait oublié les ki devant le ln, mais ça ne change rien....

Maxmau
Membre Irrationnel
Messages: 1149
Enregistré le: 19 Mar 2008, 12:11

par Maxmau » 01 Nov 2011, 17:41

GagaMaths a écrit:sauf qu'on avait oublié les ki devant le ln, mais ça ne change rien....

effectivement ça change rien

GagaMaths
Membre Relatif
Messages: 316
Enregistré le: 29 Oct 2011, 15:28

par GagaMaths » 01 Nov 2011, 20:03

par contre maintenant je dois montrer que nabla²F(a,b,c) est définie positive, c'est une autre histoire...
je n'y arrive pas, j'ai presque tout positif lorsque je calcule <(Nabla²F)u,u>, mais il me reste des termes...

Maxmau
Membre Irrationnel
Messages: 1149
Enregistré le: 19 Mar 2008, 12:11

par Maxmau » 02 Nov 2011, 11:53

GagaMaths a écrit:par contre maintenant je dois montrer que nabla²F(a,b,c) est définie positive, c'est une autre histoire...
je n'y arrive pas, j'ai presque tout positif lorsque je calcule , mais il me reste des termes...

Nabla²F en (a,b,c) est bien la matrice 3x3 symétrique fabriquée avec les dérivées partielles secondes de F en (a,b,c) ??
ou ce qui revient au même la différentielle seconde en (a,b,c) (qui est une forme quadratique) de F ??

Maxmau
Membre Irrationnel
Messages: 1149
Enregistré le: 19 Mar 2008, 12:11

par Maxmau » 02 Nov 2011, 15:18

Maxmau a écrit:Nabla²F en (a,b,c) est bien la matrice 3x3 symétrique fabriquée avec les dérivées partielles secondes de F en (a,b,c) ??
ou ce qui revient au même la différentielle seconde en (a,b,c) (qui est une forme quadratique) de F ??


Si H est la matrice ci-dessus et u la colonne (h,k,l)
le calcul de doit être une somme de carrés (carré de forme linéaire)

GagaMaths
Membre Relatif
Messages: 316
Enregistré le: 29 Oct 2011, 15:28

par GagaMaths » 02 Nov 2011, 20:26

oui c'est bien ça, en reflechissant j'ai trouvé...
en fait je bloquais car c'est non pas une somme de carrés avec deux termes mais trois termes au carré... ^^
par contre je voulais te demander Maxmau, par rapport à ce qu'on a fait avant:
dans l'exo ils parlent du produit scalaire euclidien, et de sa norme associée.
ainsi, moi je parle de la norme 1 de Av, donc à priori ce n'est pas la bonne norme?
meme si les normes sont équivalentes dans R^n, j'ai quand meme le droit de l'utilsier là ?

Maxmau
Membre Irrationnel
Messages: 1149
Enregistré le: 19 Mar 2008, 12:11

par Maxmau » 02 Nov 2011, 20:45

GagaMaths a écrit:oui c'est bien ça, en reflechissant j'ai trouvé...
en fait je bloquais car c'est non pas une somme de carrés avec deux termes mais trois termes au carré... ^^
par contre je voulais te demander Maxmau, par rapport à ce qu'on a fait avant:
dans l'exo ils parlent du produit scalaire euclidien, et de sa norme associée.
ainsi, moi je parle de la norme 1 de Av, donc à priori ce n'est pas la bonne norme?
meme si les normes sont équivalentes dans R^n, j'ai quand meme le droit de l'utilsier là ?


Tu peux même rédiger en ne mentionnant pas la norme 1 mais seulement la norme 2 (euclidienne)
(Les 2 normes étant équivalentes, l'inégalité montrée pour l'une vaut pour l'autre)
Je crois que tu peux simplement utiliser le fait que si les cood d'un vecteur sont >0 la somme de ses coordonnées est >= norme euclidienne du vecteur

GagaMaths
Membre Relatif
Messages: 316
Enregistré le: 29 Oct 2011, 15:28

par GagaMaths » 02 Nov 2011, 21:06

"
Je crois que tu peux simplement utiliser le fait que si les cood d'un vecteur sont >0 la somme de ses coordonnées est >= norme euclidienne du vecteur
"

justement je n'y arrive pas...
enfin par ex dans notre cas je n'arrive pas à comparer ||Av ||_1 et ||Av||_2...
et ça ne me parait pas évident que le fait que les normes soient equivalentes, montrer l'inegalité pr l'une est montrée pr l'autre... !!

Maxmau
Membre Irrationnel
Messages: 1149
Enregistré le: 19 Mar 2008, 12:11

par Maxmau » 02 Nov 2011, 22:15

GagaMaths a écrit:"
Je crois que tu peux simplement utiliser le fait que si les cood d'un vecteur sont >0 la somme de ses coordonnées est >= norme euclidienne du vecteur
"

justement je n'y arrive pas...
enfin par ex dans notre cas je n'arrive pas à comparer ||Av ||_1 et ||Av||_2...
et ça ne me parait pas évident que le fait que les normes soient equivalentes, montrer l'inegalité pr l'une est montrée pr l'autre... !!


si v = (a,b,c) , ||v ||1 = |a |+ |b |+ |c | et ||v ||2 =racine(a²+b²+c²)
En élevant au carré on voit que ||v ||1 >= ||v ||2
on montre aussi (classique) ||v ||1 <= rac(3) ||v ||2

naturellemnt on a les mêmes in&galités quand on remplace v par Av

remarque:
"montrer l'inegalité pr l'une est montrée pr l'autre..." oui mais attention car la constante K n'est pas forcément la même ds les 2 cas

GagaMaths
Membre Relatif
Messages: 316
Enregistré le: 29 Oct 2011, 15:28

par GagaMaths » 03 Nov 2011, 20:36

MAXMAU A L'AIDE !!!

en refaisant l'exo, je me suis trompée !!!
la fonction 1 -lnx / x n'est pas minorée par 1... je me suis trompée dans ma dérivée...

du coup plus rien ne marche...
Aide moi ... :)

Maxmau
Membre Irrationnel
Messages: 1149
Enregistré le: 19 Mar 2008, 12:11

par Maxmau » 03 Nov 2011, 20:45

GagaMaths a écrit:MAXMAU A L'AIDE !!!

en refaisant l'exo, je me suis trompée !!!
la fonction 1 -lnx / x n'est pas minorée par 1... je me suis trompée dans ma dérivée...

du coup plus rien ne marche...
Aide moi ... :)


1 - (lnx/x) est minorée par 1 -(1/e) (ce qui ne change rien)

GagaMaths
Membre Relatif
Messages: 316
Enregistré le: 29 Oct 2011, 15:28

par GagaMaths » 03 Nov 2011, 21:07

bah si ça change...

parce que du coup :
Somme(axi+byi+c)-ln(axi+byi+c) = (axi+byi+c)( 1 - ln(axi+byi+c)/(axi+byi+c))
>= Somme (axi+byi+c) (1-1/e)
>=Somme (axi+byi+c) - (1/e)Somme (axi+byi+c)


du coup après je fais comment ?

Maxmau
Membre Irrationnel
Messages: 1149
Enregistré le: 19 Mar 2008, 12:11

par Maxmau » 03 Nov 2011, 21:26

GagaMaths a écrit:bah si ça change...

parce que du coup :
Somme(axi+byi+c)-ln(axi+byi+c) = (axi+byi+c)( 1 - ln(axi+byi+c)/(axi+byi+c))
>= (1-1/e)



du coup après je fais comment ?

(1-1/e) > 0
donc (1-1/e)Somme (axi+byi+c) >= Constante x norme de (a,b,c)

GagaMaths
Membre Relatif
Messages: 316
Enregistré le: 29 Oct 2011, 15:28

par GagaMaths » 03 Nov 2011, 21:31

Somme(axi+byi+c)-ln(axi+byi+c) = (axi+byi+c)( 1 - ln(axi+byi+c)/(axi+byi+c))
>= Somme (axi+byi+c) (1-1/e)
>=Somme (axi+byi+c) - (1/e)Somme (axi+byi+c)
>= Av - (1/e) ||v||

euh...

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 70 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite