Matrice et norme
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
-
Maxmau
- Membre Irrationnel
- Messages: 1149
- Enregistré le: 19 Mar 2008, 12:11
-
par Maxmau » 31 Oct 2011, 15:50
GagaMaths a écrit:Merci !
Par contre pr le 1/, quand tu dis que c'est la norme 1 de Av, le problème c'est que i va de 1 jusqu'à 250, alors qu'à priori
Av = (ax1+by1+c, ax2+by2+c, ax2+by2+c)
donc ||Av||_1 = ax1+by1+c + ax2+by2+c + ax2+by2+c
car A est 3*3 ...
Si A est une 250x3 (250 lignes 3 colonnes) on peut en extraire 3 lignes indépendantes (au 3 points non alignés) et montrer que l'inégalité ||Av|| >= K||v|| est encore vraie dans ce cas et
||Av||_1 = ax1+by1+c + ax2+by2+c + ax3+by3+c +...etc...
-
GagaMaths
- Membre Relatif
- Messages: 316
- Enregistré le: 29 Oct 2011, 15:28
-
par GagaMaths » 31 Oct 2011, 22:56
Maxmau a écrit:Si A est une 250x3 (250 lignes 3 colonnes) on peut en extraire 3 lignes indépendantes (au 3 points non alignés) et montrer que l'inégalité ||Av|| >= K||v|| est encore vraie dans ce cas et
||Av||_1 = ax1+by1+c + ax2+by2+c + ax3+by3+c +...etc...
ok!
alors en fait ce que j'ai fait c'est que je peux donc minorer le 1er terme de la somme, sans les ln...
du coup j'ai F(v) >= Av >= (1/K)||v||.
Maintenant il me reste à minorer de la même façon les autres termes en ln...
j'ai regroupé les logarithmes, j'obtiens donc :
-Somme ln(axi+byi+c) + Somme ln(ki!)
= Somme (ln((ki!)/(axi+byi+c)))
Mais je ne sais pas si j'ai bien fait de regrouper comme ça !...
Je n'arrive pas à aboutir à quelque chose !!
-
Maxmau
- Membre Irrationnel
- Messages: 1149
- Enregistré le: 19 Mar 2008, 12:11
-
par Maxmau » 01 Nov 2011, 10:48
[quote="GagaMaths"]
Soit F(a,b,c) = Somme((axi+byi+c)-ln(axi+byi+c)) + Somme ln(ki!)
avec tous les xi, yi, ki > 0, (a,b,c) dans R3.
QUOTE]
(axi+byi+c)-ln(axi+byi+c) = (axi+byi+c)( 1 - ln(axi+byi+c)/(axi+byi+c))
1 - ln(x)/x est minoré par une constante positive sur (0,+infini)
-
GagaMaths
- Membre Relatif
- Messages: 316
- Enregistré le: 29 Oct 2011, 15:28
-
par GagaMaths » 01 Nov 2011, 12:40
Maxmau a écrit: GagaMaths a écrit:Soit F(a,b,c) = Somme((axi+byi+c)-ln(axi+byi+c)) + Somme ln(ki!)
avec tous les xi, yi, ki > 0, (a,b,c) dans R3.
QUOTE]
(axi+byi+c)-ln(axi+byi+c) = (axi+byi+c)( 1 - ln(axi+byi+c)/(axi+byi+c))
1 - ln(x)/x est minoré par une constante positive sur (0,+infini)
alors j'ai étudié la fonction 1 - lnx /x et je trouve qu'elle est décroissante et tend vers 1 quand x tend vers +oo, donc 1 - lnx/ x est minorée par 1.
donc :
F(a,b,c) = Somme((axi+byi+c)-ln(axi+byi+c)) + Somme ln(ki!)
= Somme( (axi+byi+c)( 1 - ln(axi+byi+c)/(axi+byi+c)) ) + Somme ln(ki!)
>= Somme( (axi+byi+c)) + Somme ln(ki!)
>= Av + Somme ln(ki!)
>= (1/K)||v|| + Somme ln(ki!)
-
Maxmau
- Membre Irrationnel
- Messages: 1149
- Enregistré le: 19 Mar 2008, 12:11
-
par Maxmau » 01 Nov 2011, 13:55
OK
Il teste à faire tendre la norme de v vers +infini
-
GagaMaths
- Membre Relatif
- Messages: 316
- Enregistré le: 29 Oct 2011, 15:28
-
par GagaMaths » 01 Nov 2011, 14:09
Maxmau a écrit:OK
Il teste à faire tendre la norme de v vers +infini
Merci beaucoup Maxmau !!
-
GagaMaths
- Membre Relatif
- Messages: 316
- Enregistré le: 29 Oct 2011, 15:28
-
par GagaMaths » 01 Nov 2011, 16:24
sauf qu'on avait oublié les ki devant le ln, mais ça ne change rien....
-
Maxmau
- Membre Irrationnel
- Messages: 1149
- Enregistré le: 19 Mar 2008, 12:11
-
par Maxmau » 01 Nov 2011, 17:41
GagaMaths a écrit:sauf qu'on avait oublié les ki devant le ln, mais ça ne change rien....
effectivement ça change rien
-
GagaMaths
- Membre Relatif
- Messages: 316
- Enregistré le: 29 Oct 2011, 15:28
-
par GagaMaths » 01 Nov 2011, 20:03
par contre maintenant je dois montrer que nabla²F(a,b,c) est définie positive, c'est une autre histoire...
je n'y arrive pas, j'ai presque tout positif lorsque je calcule <(Nabla²F)u,u>, mais il me reste des termes...
-
Maxmau
- Membre Irrationnel
- Messages: 1149
- Enregistré le: 19 Mar 2008, 12:11
-
par Maxmau » 02 Nov 2011, 11:53
GagaMaths a écrit:par contre maintenant je dois montrer que nabla²F(a,b,c) est définie positive, c'est une autre histoire...
je n'y arrive pas, j'ai presque tout positif lorsque je calcule , mais il me reste des termes...
Nabla²F en (a,b,c) est bien la matrice 3x3 symétrique fabriquée avec les dérivées partielles secondes de F en (a,b,c) ??
ou ce qui revient au même la différentielle seconde en (a,b,c) (qui est une forme quadratique) de F ??
-
Maxmau
- Membre Irrationnel
- Messages: 1149
- Enregistré le: 19 Mar 2008, 12:11
-
par Maxmau » 02 Nov 2011, 15:18
Maxmau a écrit:Nabla²F en (a,b,c) est bien la matrice 3x3 symétrique fabriquée avec les dérivées partielles secondes de F en (a,b,c) ??
ou ce qui revient au même la différentielle seconde en (a,b,c) (qui est une forme quadratique) de F ??
Si H est la matrice ci-dessus et u la colonne (h,k,l)
le calcul de doit être une somme de carrés (carré de forme linéaire)
-
GagaMaths
- Membre Relatif
- Messages: 316
- Enregistré le: 29 Oct 2011, 15:28
-
par GagaMaths » 02 Nov 2011, 20:26
oui c'est bien ça, en reflechissant j'ai trouvé...
en fait je bloquais car c'est non pas une somme de carrés avec deux termes mais trois termes au carré... ^^
par contre je voulais te demander Maxmau, par rapport à ce qu'on a fait avant:
dans l'exo ils parlent du produit scalaire euclidien, et de sa norme associée.
ainsi, moi je parle de la norme 1 de Av, donc à priori ce n'est pas la bonne norme?
meme si les normes sont équivalentes dans R^n, j'ai quand meme le droit de l'utilsier là ?
-
Maxmau
- Membre Irrationnel
- Messages: 1149
- Enregistré le: 19 Mar 2008, 12:11
-
par Maxmau » 02 Nov 2011, 20:45
GagaMaths a écrit:oui c'est bien ça, en reflechissant j'ai trouvé...
en fait je bloquais car c'est non pas une somme de carrés avec deux termes mais trois termes au carré... ^^
par contre je voulais te demander Maxmau, par rapport à ce qu'on a fait avant:
dans l'exo ils parlent du produit scalaire euclidien, et de sa norme associée.
ainsi, moi je parle de la norme 1 de Av, donc à priori ce n'est pas la bonne norme?
meme si les normes sont équivalentes dans R^n, j'ai quand meme le droit de l'utilsier là ?
Tu peux même rédiger en ne mentionnant pas la norme 1 mais seulement la norme 2 (euclidienne)
(Les 2 normes étant équivalentes, l'inégalité montrée pour l'une vaut pour l'autre)
Je crois que tu peux simplement utiliser le fait que si les cood d'un vecteur sont >0 la somme de ses coordonnées est >= norme euclidienne du vecteur
-
GagaMaths
- Membre Relatif
- Messages: 316
- Enregistré le: 29 Oct 2011, 15:28
-
par GagaMaths » 02 Nov 2011, 21:06
"
Je crois que tu peux simplement utiliser le fait que si les cood d'un vecteur sont >0 la somme de ses coordonnées est >= norme euclidienne du vecteur
"
justement je n'y arrive pas...
enfin par ex dans notre cas je n'arrive pas à comparer ||Av ||_1 et ||Av||_2...
et ça ne me parait pas évident que le fait que les normes soient equivalentes, montrer l'inegalité pr l'une est montrée pr l'autre... !!
-
Maxmau
- Membre Irrationnel
- Messages: 1149
- Enregistré le: 19 Mar 2008, 12:11
-
par Maxmau » 02 Nov 2011, 22:15
GagaMaths a écrit:"
Je crois que tu peux simplement utiliser le fait que si les cood d'un vecteur sont >0 la somme de ses coordonnées est >= norme euclidienne du vecteur
"
justement je n'y arrive pas...
enfin par ex dans notre cas je n'arrive pas à comparer ||Av ||_1 et ||Av||_2...
et ça ne me parait pas évident que le fait que les normes soient equivalentes, montrer l'inegalité pr l'une est montrée pr l'autre... !!
si v = (a,b,c) , ||v ||1 = |a |+ |b |+ |c | et ||v ||2 =racine(a²+b²+c²)
En élevant au carré on voit que ||v ||1 >= ||v ||2
on montre aussi (classique) ||v ||1 <= rac(3) ||v ||2
naturellemnt on a les mêmes in&galités quand on remplace v par Av
remarque:
"montrer l'inegalité pr l'une est montrée pr l'autre..." oui mais attention car la constante K n'est pas forcément la même ds les 2 cas
-
GagaMaths
- Membre Relatif
- Messages: 316
- Enregistré le: 29 Oct 2011, 15:28
-
par GagaMaths » 03 Nov 2011, 20:36
MAXMAU A L'AIDE !!!
en refaisant l'exo, je me suis trompée !!!
la fonction 1 -lnx / x n'est pas minorée par 1... je me suis trompée dans ma dérivée...
du coup plus rien ne marche...
Aide moi ... :)
-
Maxmau
- Membre Irrationnel
- Messages: 1149
- Enregistré le: 19 Mar 2008, 12:11
-
par Maxmau » 03 Nov 2011, 20:45
GagaMaths a écrit:MAXMAU A L'AIDE !!!
en refaisant l'exo, je me suis trompée !!!
la fonction 1 -lnx / x n'est pas minorée par 1... je me suis trompée dans ma dérivée...
du coup plus rien ne marche...
Aide moi ...
1 - (lnx/x) est minorée par 1 -(1/e) (ce qui ne change rien)
-
GagaMaths
- Membre Relatif
- Messages: 316
- Enregistré le: 29 Oct 2011, 15:28
-
par GagaMaths » 03 Nov 2011, 21:07
bah si ça change...
parce que du coup :
Somme(axi+byi+c)-ln(axi+byi+c) = (axi+byi+c)( 1 - ln(axi+byi+c)/(axi+byi+c))
>= Somme (axi+byi+c) (1-1/e)
>=Somme (axi+byi+c) - (1/e)Somme (axi+byi+c)
du coup après je fais comment ?
-
Maxmau
- Membre Irrationnel
- Messages: 1149
- Enregistré le: 19 Mar 2008, 12:11
-
par Maxmau » 03 Nov 2011, 21:26
GagaMaths a écrit:bah si ça change...
parce que du coup :
Somme(axi+byi+c)-ln(axi+byi+c) = (axi+byi+c)( 1 - ln(axi+byi+c)/(axi+byi+c))
>= (1-1/e)
du coup après je fais comment ?
(1-1/e) > 0
donc (1-1/e)Somme (axi+byi+c) >= Constante x norme de (a,b,c)
-
GagaMaths
- Membre Relatif
- Messages: 316
- Enregistré le: 29 Oct 2011, 15:28
-
par GagaMaths » 03 Nov 2011, 21:31
Somme(axi+byi+c)-ln(axi+byi+c) = (axi+byi+c)( 1 - ln(axi+byi+c)/(axi+byi+c))
>= Somme (axi+byi+c) (1-1/e)
>=Somme (axi+byi+c) - (1/e)Somme (axi+byi+c)
>= Av - (1/e) ||v||
euh...
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 70 invités