Matrice et applications linéaires

[emmy1977]

Bonjour,
J'ai un problème avec mon DM pour la rentrée, notamment avec cet exercice et j'aimerais un peu d'aide et au mieux un guidage tout le long de l'exercice. J'ai mis l'énoncé en pièce jointe pour une meilleure lisibilité.
Donc j'ai répondu à la question 1 :
Et j'ai trouvé que la matrice inversible de A était -A c'est à dire -A. (A confirmer svp)
Et pour ce qui est de la question 2)a) je bloque. Je pensais utiliser les valeurs propres et essayer de trouver un tel que f(u)= u mais je n'arrive pas à mettre en place tout ça. Un peu d'aide ne serait pas de refus. Merci d'avance.

[Manny06]

Bonjour,
J'ai un problème avec mon DM pour la rentrée, notamment avec cet exercice et j'aimerais un peu d'aide et au mieux un guidage tout le long de l'exercice. J'ai mis l'énoncé en pièce jointe pour une meilleure lisibilité.
Donc j'ai répondu à la question 1 :
Et j'ai trouvé que la matrice inversible de A était -A c'est à dire -A. (A confirmer svp)
Et pour ce qui est de la question 2)a) je bloque. Je pensais utiliser les valeurs propres et essayer de trouver un tel que f(u)= u mais je n'arrive pas à mettre en place tout ça. Un peu d'aide ne serait pas de refus. Merci d'avance.

écris au+bf(u)=0
applique f (tu remplaceras f²(u) par -u)
élimine f(u)
qu'obtiens-tu ?

[emmy1977]

Je ne comprends pas du tout pourquoi je dois faire ça. f(u) correspond à quoi ? A A² + In = ?

[Thomas Joseph]

f(u) correspond à A*u

Il faut faire cela pour pouvoir utiliser la propriété qui t'es donnée sur f.

Une fois que tu as appliqué f comme Manny te le propose,
à l'aide de l'égalité obtenue,exprime f(u) en fonction de a, b et u.
Réinjecte cette expression de f(u) dans au+bf(u)=0
Tu pourras alors en déduire que a et b sont nuls.

[emmy1977]

Je vois où votre raisonnement veut en venir car à la fin si on trouve a et b nuls cela veut dire que la famille (u;f(u) est liée mais je ne comprends pas le début.
En gros on pose au+b*f(u) = 0 avec a et b 2 cstes et u et f(u) qui sont considérés comme des vecteurs ?
Donc puisque f(u) = A*u vu que f est l'application linéaire associée à A on a
a*u+b*A*u=0 mais après je ne vois pas comment je peut faire rentrer en jeu le f²(u), le -u... il faut réutiliser la matrice inversible ?

[Thomas Joseph]

au+b*f(u)=0 devient
au+bAu=0 (égalité1)
Multiplies par A
aAu+bA²u=0
aAu-bu=0 (par hypothèse sur A)
Au=b/au
Tu remplaces Au par ce que tu viens de trouver dans l'égalité 1
au+b²/au=0
donc a+b²/a=0
donc a²+b²=0
donc a=b=0

[emmy1977]

Ok merci beaucoup mais en fait je ne vois pas pourquoi on a comme hypothèse A²=-u ? J'ai vraiment de gros problème de compréhension sur les applications linéaires

[Thomas Joseph]

Ce n'est pas A² qui est égal à -u, mais A²u.
D'après l'énoncé A²+I=0 donc A²=-I donc A²u=-Iu=-u

[emmy1977]

Ah oui d'accord merci je pensais que ça avait un rapport avec la matrice inversible qui est -A mais en fait on s'en sert pas de ça. Je vais recalculer tout ça alors et j'essaye de continuer le DM pour voir si j'ai d'autres problèmes.

[Thomas Joseph]

Ne pas confondre "inverse" et "inversible"

[emmy1977]

Oui inverse je voulais dire dsl.
Par contre je trouve Au = bu/a moi mais au final je retrouve a²+b²=0

[Thomas Joseph]

Oui inverse je voulais dire dsl.
Par contre je trouve Au = bu/a moi mais au final je retrouve a²+b²=0

Il y avait des parenthèses sous-entendues,
je voulais dire ce qui correspond bien entendu à ce que tu as trouvé

[emmy1977]

Ok ˆˆ Je continue demain et je reviendrai ici si je ne comprends pas. Merci en tout cas

[Ben314]

Il y avait des parenthèses sous-entendues,
je voulais dire ce qui correspond bien entendu à ce que tu as trouvé

Euhhhh, ça fait pas un peut concon d'écrire ça pour en déduire 2 ligne plus tard que a est nul ?

[Thomas Joseph]

Supposons a et b deux réels, non tous deux nuls tels que au+bAu=0 (égalité1)
En composant par A on a alors
aAu+bA²u=0
aAu-bu=0 (par hypothèse sur A)

u étant non nul,
1) Si a=0 alors b= 0 donc contradiction
2) Si a non nul
Au=(b/a)u
En remplaçant Au par ce qui vient d'être trouvé dans l'égalité 1
au+b²/au=0
donc a+b²/a=0
donc a²+b²=0 donc contradiction

Conclusion : Si a et b sont deux réels tels que au+bf(u)=0 alors a=b=0. La famille (u,f(u)) est donc liée.

[capitaine nuggets]

Donc j'ai répondu à la question 1 :
Et j'ai trouvé que la matrice inversible de A était -A c'est à dire -A. (A confirmer svp).

Après t'avoir dit que "inversible" et "inverse" était deux choses complètement différentes, comment montres-tu que est inversible ?
La tu as juste montrer que si A est inversible alors son inverse est .

[emmy1977]

Alors en fait pour la question 1 j'ai fait :
A est inversible ssi il existe une matrice B tel que AB=BA=In
On a A²+In=On <=> On-A²=In
<=> A(On-A)=In = (On-A)A
Ce qui prouve que A est inversible et l'inverse est : Aˆ-1 = On-A = -A (matrice inverse de A)
(PS : je n'arrive pas à faire les puissances avec Latex)

[emmy1977]

Pour la question 2)b) faut-il refaire le meme raisonnement ?

[Thomas Joseph]

Je me remets aux maths depuis peu (une semaine), donc les réflexes mettent du temps à revenir, avec mes excuses.
La rédaction ci-dessous est bien plus satisfaisante que toutes celles que j'ai pu te proposer jusqu'alors:

Supposons que la famille est liée,
il existe donc a, b, c, d non tous nuls tels que au+bv+cf(u)+df(v)=0 (égalité 1)

1) Si d=0 .... contradiction
2) Si d non nul,
on compose par f, on isole f(v), on remplace dans l'égalité 1), on aboutit à une contradiction

Donc notre hypothèse est fausse, la famille est libre

[emmy1977]

Ok et avant je fais pareil avec la famille (u,v,f(u)) et j'en déduis ça alors ?