Lemme de Schwarz

[Anonyme]

Bonjour.
L'exercice suivant me pose problème.

Soit f une fonction holomorphe dans le disque ouvert {z, |z|<1} telle
que f(0)=0.
Montrer que la série d'applications Sigma( z->f(z^n) ) converge
uniformément sur tout compact inclus dans ce disque.
Indication :
Etant donné r dans ]0,1[, utiliser le lemme de Schwarz (dans le disque
{z, |z|pour |z|=
La version du lemme de Schwarz que je connais est :
Soit f holomorphe dans le disque ouvert unité.
On suppose que f(0)=0 et que pour |z|<1, |f(z)|<1.
Alors :
pour |z|<1, |f(z)|<|z|.

Voici ce que j'ai pensé à faire :
Soit r dans ]0,1[.
f est continue (car holomorphe) sur le disque fermé {z, |z| =< r} qui
est un compact non-vide, donc f est bornée et atteint ses bornes sur ce
disque :
il existe z_0 dans ce disque tel que pour |z| =< r, |f(z)| =< |f(z_0)|.
Ainsi, en notant g(z)=f(z)/f(z_0) (je suppose f non nulle et donc
f(z_0) non nul), j'obtiens :
Quelque soit z tel que |z|=Je suppose qu'à partir de là il faut appliquer le lemme de Schwarz à g.
Le lemme de Schwarz "dans le disque de rayon r" va me donner :
pour |z|Comme quelque soit z tel que |z|<1, |z^n|<1,
on a : pour |z|
C'est là que je bloque.
L'énoncé me demande une telle majoration pour |z|=obtenue pour |z|Si quelqu'un a une suggestion...
Peut-être ne suis-je pas du tout parti sur la bonne méthode.
Merci d'avance.

[Anonyme]

[...]
> Le lemme de Schwarz "dans le disque de rayon r" va me donner :
> pour |z| Comme quelque soit z tel que |z| on a : pour |z|
> C'est là que je bloque.
> L'énoncé me demande une telle majoration pour |z|= obtenue pour |z|<r.

Je n'ai pas vérifié le début, mais tu peux passer à la limite quand z tend
vers un point du disque, puisque toutes les fonctions en jeu sont continues.

--
Mû

[Anonyme]

"Romain M" a écrit dans le message de news:
mn.8d157d53c1124c55.29307@nospam.com...

> C'est là que je bloque.
> L'énoncé me demande une telle majoration pour |z|= obtenue pour |z| Si quelqu'un a une suggestion...
> Peut-être ne suis-je pas du tout parti sur la bonne méthode.

Tu choisis un r0 tel que r+e<1, tu obtiens la
majoration sur |z|=<r+e donc sur |z|=<r,

********************
http://www.mathematiques.fr.st
de nouvelles feuilles
d'exo PHEC corrigées
*******************

[Anonyme]

"masterbech" a écrit dans le message de news:
4239ed30$0$9757$636a15ce@news.free.fr...
>
>
> "Romain M" a écrit dans le message de news:
> mn.8d157d53c1124c55.29307@nospam.com...
>[color=green]
> > C'est là que je bloque.
> > L'énoncé me demande une telle majoration pour |z|= > obtenue pour |z| > Si quelqu'un a une suggestion...
> > Peut-être ne suis-je pas du tout parti sur la bonne méthode.[/color]

Rectification : Tu choisis un r0 tel que r+e<1, tu
obtiens la majoration sur |z| <r+e donc sur |z|=<r

********************
http://www.mathematiques.fr.st
de nouvelles feuilles
d'exo PHEC corrigées
*******************

[Anonyme]

Oui effectivement un passage à la limite me permet de conclure.
Merci.
[color=blue]
> Le lemme de Schwarz "dans le disque de rayon r" va me donner :
> pour |z|0 ?

[Anonyme]

>> Le lemme de Schwarz "dans le disque de rayon r" va me donner :[color=green]
>> pour |z|
> A propos de ceci, je voulais savoir :
> Pourquoi énonce-t-on dans les livres le lemme de Schwarz en se plaçant
> dans le disque ouvert de rayon 1, alors qu'il est encore vrai - sauf
> erreur de ma part - en remplaçant 1 par r>0 ?

Ca doit être un snobisme atavique... Sûrement parceque Rudin fait comme ça!

--
Mû