Laplacien en coordonnées polaires

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nemesis
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laplacien en coordonnées polaires

Messagepar nemesis » 11 Mai 2007, 18:12

bonjour a tous
soit z=f(x,y) une fonction verifiant l'equation de Laplace,c'est a dire , pouriez vous m'aider à l'exprimer en coordonnées polaires ,je voudrais en fait exprimer l'equation de Laplace en coordonnées polaires.

merci d'avance



thedream01
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Messagepar thedream01 » 11 Mai 2007, 19:17

en considérant f une fonction de classe C2 et v(r,e)=f(r*cos(e),r*sin(e)). On a: Laplacien de f(r*cos(e),r*sin(e)) est égal à:
(la dérivée seconde /r de v)+(1/r²)*(la dérivée seconde /e de v)+(1/r)*(la dérivée première /r de v).

nemesis
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Messagepar nemesis » 11 Mai 2007, 19:21

salut
et comment y'est tu arrivé

thedream01
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Messagepar thedream01 » 11 Mai 2007, 19:31

alors, comme je ne connais pas le language Latex, ça sera dur à décripter:
on va calculer le Laplacien en coordonnées polaires de f(x,y)

tu poses:
x=r*cos(e) et y=r*sin(e)
(la dérivée première /x de f)=w(r,e)=u(x,y)

alors:
(la dérivée seconde /x de f)=cos(e)*(la dérivée première /r de w)-(sin(e)/r)*(la dérivée première /e de w).

en utilisant les derivées partielles premières de u /x et /y et en calculant les derivées partielles premières de w /r et /e tu obtients (la dérivée seconde /x de f) et (la dérivée seconde /y de f).
d'où le resultat...

nemesis
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Messagepar nemesis » 11 Mai 2007, 19:36

desole mais je ne vois pas encore comment t'as fait :doh:

thedream01
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Messagepar thedream01 » 11 Mai 2007, 19:38

quel passage n'as-tu pas compris?
Il suffit de faire les calculs et de remplacer.

nemesis
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Messagepar nemesis » 11 Mai 2007, 19:45

je n'ai pas compris comment tu as obtenu
thedream01 a écrit:=cos(e)*(la dérivée première /r de w)-(sin(e)/r)*(la dérivée première /e de w).


nemesis
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Messagepar nemesis » 11 Mai 2007, 19:52

oh c'est bon ,j'avai une erreur sur ma feuille

thedream01
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Messagepar thedream01 » 11 Mai 2007, 19:54

si tu notes:
h(x,y)=(la dérivée première /x de f).
et tu poses: g(r,e)=h(x,y)=h(r*cos(e),r*sin(e)).
alors tu peux calculer les derivées partielles premières de g /r et /e en fonction des dérivées de h.
et en utilisant les combinaisons linéaires adéquates, tu obtients les derivées partielles premières de h /x et/y, donc les dérivées partielles secondes de f.

thedream01
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Messagepar thedream01 » 11 Mai 2007, 20:01

C'est bon?

nemesis
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Messagepar nemesis » 11 Mai 2007, 20:07

ou c'est bon ,maintenant on me demande de resoudre le cas F(r,e)=F(e),et la je vois pas trop ce qu'il faut faire

 

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