Intégration d'une fonction (Lemme de Jordan/Résidus)

[Fløw]

Bonjour,
Dans le cadre de mes révisions pour le DS de....demain et oui déjà ! , je bloque sur une intégrale....
Le but est de calculer : à l'aide des quelques outils comme les Lemmes de Jordan, les résidus etc....
Je suis donc parti sur cette piste là . . .
J'intègre sur un circuit défini par un demi-cercle supérieur, de rayon R et de centre 0.
On peut donc écrire que :



On peut donc chercher les singularités qui sont : z² = -1 avec k = 0 et 1
Donc
On peut donc calculer le lemme de Jordan, en faisant tendre R vers l'infini, pour trouver la valeur de l'intégrale sur Cr :
Et là je bloque. . . . .
Je n'arrive pas à trouver la valeur de l'intégrale sur Cr avec la limite et les lemmes de Jordan


Auriez vous des idées ? des sugestions sur tout mon calcul ? des corrections à ajouter ?
Merci d'avance !

[Ben314]

Salut,
C'est pas étonant que tu n'y arrive pas : vu sur l'axe imaginaire, z->cos(z), en fait c'est le cosinus hyperbolique qui tend (à toute vitesse) vers l'infini.
Prendre l'autre demi plan ne changerais rien au problème vu que le cosinu hyperbolique est pair.
Par contre, si tu dit que cos(x) (x réel) c'est la partie réelle de exp(ix) et donc que tu commence par calculer l'intégrale de exp(iz)/(z²+1), ça devrait marcher nettement mieux car la fonction z->exp(iz), vu sur l'axe imaginaire, c'est la fontion t->exp(t) qui tend (à toute vitesse) vers 0 (mais d'un seul coté donc... il faut choisir le bon demi plan)

[Fløw]

Dans l'énoncé, il n'est pas précisé si z est réel ou non . . . . . donc pour toi, il l'est forcément ? sinon l'exercice n'est pas réalisable ? même avec une autre méthode ?

[Ben314]

Heuuuu,
personellement, il me semble bien que quand on demande de calculer un truc qui s'écrit avec un grand S et avec le symbole +oo en haut et le symbole -oo en bas, ben en fait ça s'appelle une "intégrale sur R" (enfin, c'est ce que j'ai entendu dire) :hein:

[Fløw]

J'avoue saturer un peu là mais je ne comprends pas....dans le même exercice nous avons des intégrales (sans cosinus certes) mais avec des polynômes où z est complexe et ou le résultat de l'intégrale est imaginaire. . . J'avoue être un peu étonné de ta réponse, je ne le comprends pas bien.

[Ben314]

Bon, revenon au B.A.BA :
On te demande de calculer l'intégrale qui est une intégrale réelle.
Tu peut (et c'est ce que tu a fait) considérer la fonction de C->C et essayer de trouver un parcours pour "compléter" l'axe réel : ça ne mêne à rien (comme tu l'as constaté) et, dans mon premier post, je t'ai expliqué pourquoi ça ne pouvait pas aboutir.
MAIS, tu peut aussi écrire que ce qui conduit à commencer par calculer dont la partie imaginaire donnera .

[Fløw]

Ok . . . un développement qui ne me viendrait même pas à l'idée devant ma copie...

Merci j'ai pigé ce que tu voulais dire.

[Ben314]

Ce qu'il faut comprendre, c'est qu'avant de se lancer à corps perdu dans les calculs avec le coup du "demi cercle de plus en plus grand", ben faut un peu regarder si ça va marcher, c'est à dire si l'intégrale de la fonction sur le demi cercle va tendre vers 0, c'est à dire si la fonction f que tu considère tend bien vers 0 "du coté du demi cercle".
Comme z->cos(z) ne tend nulle part vers 0, c'est foutu.