Inégalité triangulaire de la norme vectorielle

[Martaaa]

Salut !

voilà, j'ai un soucis.

Dans les livres de première S, on a la définition de la norme d'un vecteur dans le plan qui est la suivante :

Soit \vec(u) un vecteur. Soit A et B deux points du plan tels que : \vect(u)=\vec(AB). La norme du vecteur \vec(u), notée ||\vect(u)|| est la longueur du segment [AB].

Ensuite, ils donnent des propriétés, en gros : séparation, homogénéité, inégalité triangulaire.

Moi, je pensais que c'était la définition même de la norme. Ainsi, comment le démontrer ??
Puisqu'il s'agit d'une propriété...

Merci d'avance,
Martaaa

P.S. : désolée pour l'écriture, j'ai essayé de coder en latex avec le bouton "TEX" mais je ne comprend pas ça n'a pas marché donc j'ai laissé comme ça.

[zygomatique]

salut

et comment calcules-tu la longueur du segment [AB] ?

[Martaaa]

Ils donnent, dans le cas où l'on se place dans un repère orthonormé, la formule norme(vec(u))=sqrt(x²+y²) avec (x;y) les coordonnées de vec(u).

[zygomatique]

je ne comprends pas quel est ton problème ....

[Ben314]

Salut,
Si tu cherche à montrer l'inégalité triangulaire avec la définition "calculatoire" de la norme, c'est à dire en partant de ça , ben c'est pas du tout "évident" (à mon avis au niveau Lycée ou collège on risque fort de se contenter d'un "ça se voit bien sur un dessin"...)

Donc ce qu'il faut montrer, en fait, c'est que, pour tout dans , on a :

En élevant au carré des deux cotés (ça ne change rien vu que tout est positif) puis en simplifiant et en divisant par 2, ça revient à montrer que :
(appelée inégalité "de Cauchy-Schwarz")
Pour montrer cette inégalité, on élève de nouveau au carré (et donc on montre "un peu plus fort", à savoir que la valeur absolue du membre de gauche est infèrieure au membre de droite). Il faut donc montrer que :


Là, on peut développer, mais ça conduit à des calculs un peu pourris (et qui surtout ne se généralisent pas bien au cas de vecteurs de R^3 ou... d'autre chose...)
Et il y a une très jolie "astuce" (archi. classique et qui sert dans bien des contextes) :
On écrit que la quantité est évidement toujours positive quel que soit .
Or, en développant, est un trinôme du second degré en et, vu qu'il ne change pas de signe (quelque soit ), c'est que son discriminant est négatif.
Sauf que et ça permet de conclure.

[Martaaa]

Ahhh ouiiiii.
Super merci ! :we:

Dernière chose : comment as-tu fais pour écrire avec une écriture mathématique ?
Est-ce le langage LateX ou bien un autre ?

[Ben314]

Oui, c'est un "succédané" du LaTeX utilisé sur ce forum (et d'autres je crois) qui s'aéppelle du MimeTeX (il me semble...)
Tu as une doc bien faite pour débuter dans le forum Lycée :
http://www.maths-forum.com/ecrire-belles-formules-mathematiques-balises-tex-70548.php