Inegalié des normes dans les espaces lp

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alabamama
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inegalié des normes dans les espaces lp

par alabamama » 24 Fév 2014, 23:52

Bonsoir,

Soit lp l’espace des suites (xn) telles que ;);) xn;)p est fini, muni de la norme Np définie par
X=(xn), Np(X)= (;);) xn;)p)1/p .
Montrer que si 1;) p ;) q , alors Nq(X) ;) Np(X).
(Dans l'expression de la série et de la norme, p et 1/p sont en exposant).

Merci d'avance.



DamX
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par DamX » 25 Fév 2014, 16:15

alabamama a écrit:Bonsoir,

Soit lp l’espace des suites (xn) telles que ;);) xn;)p est fini, muni de la norme Np définie par
X=(xn), Np(X)= (;);) xn;)p)1/p .
Montrer que si 1;) p ;) q , alors Nq(X) ;) Np(X).
(Dans l'expression de la série et de la norme, p et 1/p sont en exposant).

Merci d'avance.


Bonjour,

Qu'as-tu fait pour le moment ?

tu peux peut-être commencer par montrer que pour a et b réels positifs et 1;) p ;) q, tu as :


Damien

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Ben314
Le Ben
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par Ben314 » 25 Fév 2014, 16:22

Salut.

Ton énoncé n'est pas clair : pour quels X veut tu montrer que cette propriété est vraie ?

Si on part d'un X quelconque, ça veut dire que les normes peuvent éventuellement être égales à l'infin, mais ça continue à avoir "du sens" vu qu'on peut munir d'une structure d'ordre en considérant (évidement...) que tout réel est <= +oo.
Dans ce cas, on peut commencer par dire que, si Np(X)=+oo, le résultat est évidement vrai.

On se place donc dans le cas où Np(X) est fini. Quite à diviser X par Np(X), on peut suposeer que Np(X)=1 (ça ne change rien à l'inégalité vu que les deux normes vérifient N(k.X)=|k|.N(X))
Cela signifie que donc pour tout n on a ce qui implique que et donc que . C.Q.F.D.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

DamX
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par DamX » 25 Fév 2014, 16:29

Ben314 a écrit:Quite à diviser X par Np(X), on peut suposeer que Np(X)=1 (ça ne change rien à l'inégalité vu que les deux normes vérifient N(k.X)=|k|.N(X))
Cela signifie que donc pour tout n on a ce qui implique que et donc que . C.Q.F.D.

Bien vu,
c'est encore plus radical que ce que vers quoi j'orientais.

alabamama
Messages: 2
Enregistré le: 24 Fév 2014, 23:44

par alabamama » 25 Fév 2014, 21:17

Pour le moment j'avais essayé de me servir de la norme infini pour me ramener a des termes plus petit que 1 sous le signe somme.
Merci beaucoup pour vos réponses rapides.

 

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