Hyperplan dense et théoreme des résidus

[foxto]

On sait qu'il est possible de trouver des hyperplans denses dans un evn (souvent appelés édredon ou nuage :) ) par exemple : H = { P apartenant a R[X] tel que P(1) = 0 }

Est t il possible de former un hyperplan dense grace o Théoreme des résidus qui stipule en gros que si l'intégrale de moins l'infini a plus l'infini d'une fraction rationnelle (complexe) existe alors la somme des coefficients de ces poles est nulle...

Par ailleurs connaissez vous d'autre types d'hyperplan dense

Merci chers amis des maths

[tize]

Ce genre de question a été posé une fois dans un autre forum : lien
en espérant que cela puisse t'aider un peu...

[yos]

Bonsoir.
Je propose E l'ev des suites réelles convergentes muni de la norme infinie et H le sev des suites de limite nulle.

[tize]

Bonsoir.
Je propose E l'ev des suites réelles convergentes muni de la norme infinie et H le sev des suites de limite nulle.

Bonjour,
Je n'en suis pas si sur...j'ai comme l'impression que H n'est pas dense en tout cas pas pas avec la norme infinie...car si alors pour tout on a toujours

Il faut réussir à trouver un hyperplan qui n'est pas fermé (puisqu'il doit être dense...) et donc nécessairement se placer en dimension infinie (comme l'a fait Yos dans son exemple) mais la forme linéaire dont est issue l'hyperplan ne doit pas être continue, ce qui n'est pas le cas dans l'exemple ci dessus puisqu'avec une suite de suite qui converge vers la suite nulle : on a

En attendant je n'ai, pour l'instant, rien de mieux à proposer... :euh:

[yos]

Ben oui tu as raison. J'ai pris le premier truc qui me venait à l'esprit et voilà...
Et l'exemple de foxto utilise quelle norme?

[yos]

Autre essai :
muni de la norme infinie.


est clairement pas continue donc H est dense.
Non?

[tize]

est clairement pas continue donc H est dense.

Oui n'est pas continue mais ça ne veut pas dire pour autant que n'est pas fermé, non ? ni même forcément dense, non ? Je ne suis pas sûr, ceci étant je pense que ton exemple marche, peut être faut-il prouver la densité à la main...?

[yos]

Si, il y a équivalence entre f pas continue et dense.
C'est un exo classique qui m'est revenu.

[tize]

Oh ! c'est super comme résultat ! Tu pourrais me donner une trame de la démonstration ou une référence s'il te plait ?

[yos]

C'est pas très dur. Je vais essayer de me remémorer le truc (entre deux copies à corriger). Il est clair que le sens non évident est :
" f pas continue entraîne H dense ".

Le premier point auquel on pense pas forcément est que est aussi un sev. Du coup il n'y a que deux possibilités (pour des raisons de (co)dimension) :
auquel cas H est fermé.
auquel cas H est dense.
Donc tu peux partir de H fermé et prouver que f est continue. Ca doit se faire à l'aide des caractérisations des applications linéaires continues (genre "borné sur une boule").
Je dirais que c'est vrai dans un evt et pas seulement un evn (?)
Si tu parviens à compléter la preuve, écris-là!

[tize]

Ok, merci beaucoup ! je posterai une preuve complète si j'y arrive, je vais me pencher là dessus (ça me rappelle quelque chose de lointain) mais bon pas ce soir, je suis très fatigué et j'ai beaucoup de copies moi aussi ... :briques:
A+ bonne soirée

[tize]

Bonsoir,

alors voilà ce que j'ai fait grâce aux conseils de Yos, dites moi ce que vous en pensez...

est un hyperplan et est un espace vectoriel aussi (pas dur). Puisque est de codimension 1 (il existe tq. ) et que , on a que deux possibilités : soit et est fermé soit .

Le but est de montrer qu'il y a équivalence entre non continue et dense dans . Comme il n'y a que deux possibilités, cela revient à montrer que si H est fermé alors f est continue :

Nous supposons donc H fermé et nous allons montrer que f est continue avec la caractérisation : f est bornée sur une boule.

avec , on pose .
Si alors il existe une suite d'éléments de H tq ce qui est impossible car H est fermé et donc .
Pour tout il existe dans le corps de base et dans H tq , si alors donc (avec ) et donc : d'ou une majoration de par sur la boule unité.
Donc pour tout ,
étant fixé, est bien bornée sur la boule unité et donc continue ssi est fermé, et avecc ce qui à été dit avant on a : f non continue ssi dense.

Reste à savoir si cela est vrai dans espace topologique (non normé), je n'en ai aucune idée (si quelqu'un a une idée...) mais dans ce cas on ne peut plus passer par la continuité de f autrement qu'avec "l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert", l'argument "bornée" n'ayant plus de sens...

[Zebulon]

Bonjour,

Reste à savoir si cela est vrai dans espace topologique (non normé), je n'en ai aucune idée (si quelqu'un a une idée...) mais dans ce cas on ne peut plus passer par la continuité de f autrement qu'avec "l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert", l'argument "bornée" n'ayant plus de sens...

je ne comprends pas pourquoi "etre bornée" n'a plus de sens ? Ce qui compte, c'est que l'espace d'arrivée, le corps des scalaires, soit métrique, non ? Pour moi, f non bornée signifie
.
J'y arriverais si je savais montrer que la suite des tend vers a, où les sont dans un ouvert sur lequel f n'est pas bornée.
Une petite précision s'il vous plaît : dire que la suite tend vers a, c'est bien dire que tout ouvert U de E contenant a contient tous les pour n assez grand ?

[Yipee]

Justement il veut le faire si l'espace vectoriel n'est, à priori, que topologique. C'est à dire que l'on ne suppose pas que la topologie est d'origine métrique.

[tize]

Bonjour,

je ne comprends pas pourquoi "etre bornée" n'a plus de sens ? Ce qui compte, c'est que l'espace d'arrivée, le corps des scalaires, soit métrique, non ? Pour moi, f non bornée signifie
.
J'y arriverais si je savais montrer que la suite des tend vers a, où les sont dans un ouvert sur lequel f n'est pas bornée.
Une petite précision s'il vous plaît : dire que la suite tend vers a, c'est bien dire que tout ouvert U de E contenant a contient tous les pour n assez grand ?

La difficulté (pour moi) vient du fait que la définition d'une application lineaire continue sur un evn fait appel justement à la norme de cette evn : l'image de la boule unité (bornée) est bornée. Mais dans un espace topologique pur (sans norme) la définition n'a plus de sens puisque qu'il n'y a pas de boule unité (la boule unité etant définie par une norme...). J'en suis réduit à devoir utiliser la définition topologique de la continuité (l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert).
Pour ta question, la réponse est oui : tend vers signifie bien que les appartiennent à tout ouvert de l'espace contenant a, à partir d'un certain rang.

[tize]

Encore moi, juste pour dire que ma démonstration n'est pas très élégante...j'ai trouvé ceci sur le net :
Supposons f non continue ,elle n'est donc pas continue en 0 et il existe tq et , il existe donc croissante tq . En posant , on a et pour tout n. Maintenant, f n'etant pas nulle, on prend et on pose . pour tout entier n et , H n'est donc pas fermé.
On doit pouvoir transposer cette preuve avec des ouverts dans le cas d'un espace topologique mais j'ai la flemme d'essayer maintenant, je laisse Zébulon tenter le coup.
Sinon pour un espace vectoriel topologique j'ai trouver ceci mais il n'y a pas de démonstration...

[yos]

On peut faire ceci :Hypothèse : est fermé.

est un hyperplan (affine) fermé.
Son complémentaire est un ouvert contenant 0, donc aussi une boule ouverte B=B(0,r).
Si , on a f(x)=0 ou bien ; ce deuxième cas entraîne que et donc .
f est donc bornée sur B, et donc continue.

[tize]

Ca me parait bien ! Je vais poser une question sans doute assez bête mais pourquoi est fermé ? Est -ce parce qu'il ne peut pas être dense ou bien y a-t-il une raison encore plus simple ?

[yos]

pourquoi est fermé ?

Si , on a K=a+H où a est un antécédent quelconque de 1 (dont l'existence est évidente). Bref, K est un translaté de H.
C'est comme dans R^3, les plans affines associés à une fl forment un feuilletage parallèle de l'espace.
Pour la preuve précédente, j'ai utilisé une indication du cours de topologie de Choquet (dieu ait son âme). Mais c'était assez pauvre comme indication et j'ai pas trouvé tout de suite. Ta preuve est très bien aussi, et il est possible que dans une certaine mesure, ce soit la même chose. Je regarderai ce qu'il en est dans un evt.

[tize]

Ok merci beaucoup, c'était très bête effectivement. Je jetterai à nouveau un coup d'oeil à l'occasion dans le cours de topo de feu G.Choquet. (je ne l'ai connu qu'à travers son livre de topo. c'est bien dommage...)