Fractale

[Araa]

Bonjour,

Je suis actuellement en 2ème année de licence maths, j'étudie les fractales dans une de mes matières et j'aurais quelques questions à poser.

On s'intéresse aux fractales obtenus par des systèmes de fonctions itérées.
La théorie nous indique que pour former ce genre de fonctions le théorème du point fixe doit s'appliquer :

Soit (X,d) un espace métrique complet et f : X -> X une application contractante.
Alors f admet un unique point fixe xf et pour tout x € X lim n-> +infini f^(n) (x) = xf

Par exemple l'ensemble de Cantor : obtenu avec deux applications contractantes sur [0 ; 1]
f(x) = 1/3 x et g(x) = 1/3x+2/3

Mon problème se situe avec des systèmes de fonctions itérées dont les images par les applications ne sont pas incluses dans l'ensemble de départ. ( donc ne va pas de X -> X )
Par exemple l'arbre de pythagore ou encore la fougère de Barnsley, comment peux on appliquer le théorème du point fixe

Mon deuxième problème et que le théorème stipule que à partir de n'importe quel ensemble de départ la suite (f^(n)(x) ) converge vers un unique xf

Néanmoins en prenant le tapis de Sierpinski, il me semble ne pas aboutir à la même fractale si je prend A0 = [0,1]² ou A0 = { cercle de centre 0 et de rayon 1 } ( qui sont tous les deux compacts )

J'espère avoir été assez clair et vous remercie d'avance pour votre aide :help: