Démontrer que
1)
2)
Formule à démontrer
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formule à démontrer
par Simpi » 26 Juil 2016, 23:22
Bonjour, je cherche à démontrer ses deux formule mais je n'y arrive pas, j'ai besoin de votre aide:
Démontrer que
1) + \arctan(y) = \arctan(\frac{x+y}{1-xy}))
si 
est strictement inferieur à 
2) + \arctan(y) = \varepsilon\pi + \arctan(\frac{x+y}{1-xy}))
si est strictement supérieur à 1 ou 
.
Démontrer que
1)
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Re: formule à démontrer
par Black Jack » 27 Juil 2016, 10:30
Prendre la tangente des 2 membres ...
En se rappelant que tan(x+b) = (tan(a) + tan(b))/(1 - tan(a).tan(b))
Avec les précautions d'usages ... (par exemple en tenant compte que tan() est Pi périodique)
En se rappelant que tan(x+b) = (tan(a) + tan(b))/(1 - tan(a).tan(b))
Avec les précautions d'usages ... (par exemple en tenant compte que tan() est Pi périodique)
Re: formule à démontrer
par Robot » 27 Juil 2016, 13:16
A mon avis, il vaut mieux débuter en posant 
, 
et interpréter la condition 
en condition portant sur les angles 
et 
.
Re: formule à démontrer
par aymanemaysae » 28 Juil 2016, 15:40
Bonjour,
la méthode de M. Robot est la plus simple et la plus directe, mais j'aimerais proposer une solution pour la première question un peu moins directe, tout en vous incitant de suivre la méthode que vous a proposée M.Robot car c'est la plus pédagogique et vous y apprendrez beaucoup d'astuces sur les
.
Supposons que : \in ]0,+\infty[^2\\ xy <1 \end{matrix})
donc on a 
.
Posons = \arctan(x)+\arctan(y)-arctan(\frac{x+y}{1-xy}))
,
donc f'(x) = 0 , donc comme f est continue sur
alors f y est constante .
On a aussi = 0)
, donc  = 0)
ce qui implique que+\arctan(y) = arctan(\frac{x+y}{1-xy}))
.
la méthode de M. Robot est la plus simple et la plus directe, mais j'aimerais proposer une solution pour la première question un peu moins directe, tout en vous incitant de suivre la méthode que vous a proposée M.Robot car c'est la plus pédagogique et vous y apprendrez beaucoup d'astuces sur les
Supposons que :
Posons
donc f'(x) = 0 , donc comme f est continue sur
On a aussi
ce qui implique que
Re: formule à démontrer
par aymanemaysae » 28 Juil 2016, 17:05
reBonjour,
une autre façon de procéder pour la
question .
Comme on a : càd <\arctan(\frac{1}{y}))
<\arctan(x)+\arctan(y)<\arctan(y)+\arctan(\frac{1}{y})=\frac{\pi}{2})
,
donc+\arctan(y)<\frac{\pi}{2})
,
donc+\arctan(y)) = \frac{\tan(\arctan(x))+\tan(\arctan(y))}{1-\tan(\arctan(x)) \tan(\arctan(y))} = \frac{x+y}{1-xy})
donc .
une autre façon de procéder pour la
Comme on a :
donc
donc
donc
Re: formule à démontrer
par Robot » 28 Juil 2016, 17:59
Rien ne dit que 
et 
sont strictement positifs.
Re: formule à démontrer
par Simpi » 28 Juil 2016, 23:10
Bonjour, j'ai suivi la methode proposée par M.Robot, alors si je pose
)
et )
je trove la formule démandée
maintenant si
-si et sont strictement positif alors:
ce qui implique que  < arctan(\frac{1}{y}))
or + \arctan(\frac{1}{y}) = \frac{\pi}{2})
donc on aura < \frac{\pi}{2} - \arctan(y))
par consequent
- de meme si et sont strictement négatif on montrera que
puisque dans ce cas
 + \arctan(\frac{1}{y}) = \frac{-\pi}{2})
En conclusion on dira que si
alors 
.
j'espere que c'est ca.
maintenant si
-si
or
donc on aura
par consequent
- de meme si
En conclusion on dira que si
j'espere que c'est ca.
Re: formule à démontrer
par aymanemaysae » 29 Juil 2016, 10:10
Bonjour;
M.Robot, vous avez raison, je n'ai étudié qu'un cas parmi les quatre possibles.
Le cas où x et y sont strictement négatifs est similaire au cas où x et y sont strictement positifs, donc il reste les deux cas où x et y sont de signes contraires.
1) Si<0\\0 <\arctan(y)<\frac{\pi}{2} \end {matrix} \Rightarrow -\frac{\pi}{2}<\arctan(x)+\arctan(y)<\frac{\pi}{2})
donc
2) Si<0\\0 <\arctan(x)<\frac{\pi}{2} \end {matrix} \Rightarrow -\frac{\pi}{2}<\arctan(x)+\arctan(y)<\frac{\pi}{2})
donc .
Je crois que les quatre cas sont maintenant étudiés .
Un grand Merci à M.Robot, pour son aide et pour sa patience.
M.Robot, vous avez raison, je n'ai étudié qu'un cas parmi les quatre possibles.
Le cas où x et y sont strictement négatifs est similaire au cas où x et y sont strictement positifs, donc il reste les deux cas où x et y sont de signes contraires.
1) Si
donc
2) Si
donc
Je crois que les quatre cas sont maintenant étudiés .
Un grand Merci à M.Robot, pour son aide et pour sa patience.
Re: formule à démontrer
par Robot » 29 Juil 2016, 15:52
Simpi a écrit:Si je pose
Que veux-tu dire ????
Moi, je trouve juste
Il reste à examiner quand ces deux quantités sont égales.
Il peut être utile de faire un dessin :
D''un côté le plan des
De l'autre le carré des
Aymane, ne te crois pas obligé de faire l'exercice à la place de Simpi.
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