Exo proba

[Wemi]

j'essaie de faire ce petit exo de proba mais je n'arrive pas à avancer.

Soit n, un entier naturel non nul.
Un jardinier plante n bulbes de tulipes dans son jardin. Chaque bulbe a une probabilité p€]0;1[ de donner une fleur. Lorsqu'une tulipe fleurit une année, elle refleurit ensuite chaque année. On note T la variable aléatoire correspondant au nombre d'année nécessaires pour que tout le jardin soit en fleur.

Il faut déterminer la loi de T.

Je n'y arrive pas. J'en suis à T€[1;n] et p(T=1)=p^n. Pouvez-vous m'aider svp?

[Flodelarab]

il est normal que la première année, le jardin fleuri corresponde au cas favorable pour chacune des tulipes.

Pour les années suivantes, les résultats s'accumulent. On a :

P(T inférieur ou égal à N)=somme des P(T=i) pour i allant de 1 à N

reste à déterminer P(T=i) pour un i donné.

[Wemi]

il est normal que la première année, le jardin fleuri corresponde au cas favorable pour chacune des tulipes.

Pour les années suivantes, les résultats s'accumulent. On a :

P(T inférieur ou égal à N)=somme des P(T=i) pour i allant de 1 à N

reste à déterminer P(T=i) pour un i donné.

T correspond au nombre d'année nécessaire pour que tout le jardin soit fleuri. Donc p(Tinférieur ou =n)=1. Je comprends pas trop ton aide.

[Flodelarab]

Année 1: le bulbe a une chance p de fleurir
Année 2: Le bulbe ne doit pas avoir fleuri et fleurit: chance (1-p)p
...
Année a: Le bulbe n'a pas fleuri les a-1 années avant et fleurit: chance p(1-p)^(a-1)

Un bulbe a fleuri au bout de a années avec une chance de :
somme(p(1-p)^(j-1)) pour j allant de 1 à a.

La chance que le jardin soit fleuri au bout de a années est:

P(T=a)=(somme(p(1-p)^(j-1)) pour j allant de 1 à a )^n


(En fait, je me suis trompé dans mon précédent post, car si on somme sur a on comptera 2 fois les meme cas.)

[Flodelarab]

Ne confonds pas n, nombre de bulbes et T variable aléatoire du nombre d'années

[Wemi]

merci,j'ai compris

[Flodelarab]

Soit, en plus clair:

[Flodelarab]

Soit, en plus clair:



Pkoi g la désagréable impression que Latex ne met les valeurs en dessous et en dessus du sigma que quand la taille de la police est supérieure ou égale à 3 ?

[buzard]

Là je crois que vous ne considérez que la probabilité pour que les tulipes fleurissent toute la même année.

La loi de l'année de floraison (X_i) d'un bulbe est une loi géometrique de parametres p. Mais la floraison de tout le jardin correspond au max de n de ces variables (indépendantes).

T = max {X_1, ... , X_n}

Il me semble qu'il y a déjà eu un sujet concernant le min et le max de loi géometrique, je te convie vivement à faire un tour à cette discussion.

[buzard]

Rien à dire, j'ai parlé trop vite. :hum:

[Wemi]

J'ai une autre exo qui me pose pb:

1 urne contient 10 boules numérotées de 1 à n. On tire 3 fois de suite une boule avec remise.
Quelle est la proba d'obtenir 3 nombres:

1)dans un autres trictement croissant
2)dans un ordre croissant au sens large.

Je n'ai que cherché la 1è question pour le moment mais je bloque. On a mille tirage de ce type possible et pour la question 1, on ne peut tirer que 8 boule(celle de 1 à 8) mais après le nombre de choix pour la boule 2, je bloque car ça dépend du tirage de la 1


merci

[alben]

Bonsoir,

Il est assez facile de raisonner en tirant deux boules. La première étant choisie, la condition sur la seconde est simple :
Prob(X2>X1 quand X1 est réalisé)=(N-x1)/N
Et finalement Proba(X2>X1) = somme de k=1 à N-1 de (N-k)/(N²)
Ce résultat pourra te servir pour passer à 3 tirages
PS N=10 dans ton exo

[alben]

En fait, pour faire directement le cas de trois boules, tu peux plus simplement faire varier la valeur de la seconde de 2 à 9 et calculer la proba d'avoir la première inférieure et la dernière supérieure (sens strict puis sens large)