Espaces vectoriels - rang - applications linéaires

[capitaine nuggets]

Bonjour, j'aimerais savoir comment déterminer le rang d'une matrice s'il vous plaît.

En particulier, j'aimerais trouvé le rang de .

Merci d'avance.

[wserdx]

Bonjour,
Je te propose de la mettre sous forme échelonnée.
matrice échelonnée
Le rang est alors le nombre de lignes non nulles.

[capitaine nuggets]

D'accord, mise sous forme échelonnée, la matrice A est égale à

.

Donc ?

[wserdx]

Je trouve la même chose à un signe "moins" près dans la première ligne.
Donc le rang est bien 2.

[capitaine nuggets]

Je trouve la même chose à un signe "moins" près dans la première ligne.
Donc le rang est bien 2.

Cela a-t-il un importance ?

Et point de vue rédaction : les matrices successives obtenues jusqu'à celles-là ne sont pas égales ?

[wserdx]

Pour le signe "moins", c'est sans importance.
Les matrices successives ne sont pas égales bien sûr, mais elles sont "équivalentes", les transformations pour échelonner ne changent pas le rang.

[capitaine nuggets]

Mais on ne peut pas dire :

.

Donc comment dire ce qu'on fait pour justifier ce qu’on fait ?

[nidalinho]

Mais on ne peut pas dire :

.

Donc comment dire ce qu'on fait pour justifier ce qu’on fait ?

oui c c est vrai on ne peut pas

[capitaine nuggets]

Est-ce qu'on peut interchanger deux vecteurs colonnes lorsque l'on échelonne A ?

[vincentroumezy]

Bien sûr, pour un calcul de rang, l'ordre des vecteurs n'a aucune importance.

[capitaine nuggets]

Voici un exercice où je bloque.

Soit

1°) Déterminer selon les valeurs du réel \lambda le rang de la matrice .

.

J'échelonne donc et je trouve : .

Par suite :
si et seulement si , c'est-à-dire, ou ;
si et seulement si , c'est-à-dire, ou .

2°) On note et les deux réels tels que le rang de est 1.
Pour , déterminer l'ensemble des solutions du système linéaire .

Je pose et .
.

Pour , l'ensemble des solutions est ;
Pour , l'ensemble des solutions est .

3°) On note un vecteur non nul solution de ce système.
Montrer que est une base de .

La famille étant de même cardinal que la dimension de , on en déduis que :
Montrer que est une base de revient à montrer que est une famille libre de .

Mais je n'arrive pas à le montrer.


Quelques questions :

Admettons qu'on ait une matrice de 4 Lignes L1, L2, L3, L4 et 3 colonnes C1, C2, C3.

On peut utiliser la méthode du pivot de Gauss pour les lignes, mais peut-on aussi le faire pour les colonnes ?

Qu'est-ce que ça signifie déterminer le rang d'une matrice ?

[capitaine nuggets]

Quelques questions :

Admettons qu'on ait une matrice de 4 Lignes L1, L2, L3, L4 et 3 colonnes C1, C2, C3.

On peut utiliser la méthode du pivot de Gauss pour les lignes, mais peut-on aussi le faire pour les colonnes ?

Qu'est-ce que ça signifie déterminer le rang d'une matrice ?

Bonjour,
Je te propose de la mettre sous forme échelonnée.
matrice échelonnée
Le rang est alors le nombre de lignes non nulles.

Alors pourquoi a-t-on :
si : ?

[capitaine nuggets]

Bonjour,
Je te propose de la mettre sous forme échelonnée.
matrice échelonnée
Le rang est alors le nombre de lignes non nulles.

Alors pourquoi a-t-on :
si : ?

[vincentroumezy]

Oui, on peut utiliser le pivot sur les lignes ou les colonnes, indifféremment (car tu sais qu'une matrice à même rang que sa transposée, donc rg des lignes=rg des colonnes).

[wserdx]

Parce que la matrice n'est pas échelonnée en ligne.
Il faut des 0 en dessous des pivots.
Dans ton exemple, elle est échelonnée en colonne (des 0 à droite des pivots). Le rang est donc le nombre de colonnes non nulles, ici 2.

[capitaine nuggets]

Voici un exercice où je bloque.

Soit

1°) Déterminer selon les valeurs du réel \lambda le rang de la matrice .

.

J'échelonne donc et je trouve : .

Par suite :
si et seulement si , c'est-à-dire, ou ;
si et seulement si , c'est-à-dire, ou .

2°) On note et les deux réels tels que le rang de est 1.
Pour , déterminer l'ensemble des solutions du système linéaire .

Je pose et .
.

Pour , l'ensemble des solutions est ;
Pour , l'ensemble des solutions est .

3°) On note un vecteur non nul solution de ce système.
Montrer que est une base de .

La famille étant de même cardinal que la dimension de , on en déduis que :
Montrer que est une base de revient à montrer que est une famille libre de .


Mais je n'arrive pas à le montrer.
Ai-je bon jusque là ?

[wserdx]

Oui, je pense que c'est tout bon.
Pour montrer que est une base, utilise leur valeur numérique, ne les considère pas comme comme des objets "variables".

[capitaine nuggets]

Oui, je pense que c'est tout bon.
Pour montrer que est une base, utilise leur valeur numérique, ne les considère pas comme comme des objets "variables".

Salut !

Je ne comprends pas bien ce que tu veux dire.
Dois-je prendre des valeurs particulières de v1 et v2 ?

[wserdx]

Bien sûr. Prends un peu d'initiative. Quelles valeurs peuvent prendre ?

[capitaine nuggets]

Bien sûr. Prends un peu d'initiative. Quelles valeurs peuvent prendre ?

C'est pas une question d'initiatives, je ne comprends pas bien la question.

On peut prendre v1=(1,-1) et v2=(1,1) ?