Espace vectoriel normé

[Bill BM]

Bonjour,
J'ai une question :
Peut-on dire qu'un sous-espace vectoriel fermé est de dimension fini ?

Merci,

[kazeriahm]

Non : si E est un evn (de dimension infinie), E est un sev de E, fermé...

Puis sinon tu peux prendre une base (infinie) de E, et regarder l'espace engendré par cette base, à laquelle on a enlevé un élément. Ca donne un espace fermé, de dimension infinie, mais de codimension finie

[Bill BM]

Slt à toi,
En fait je suis sur un exo:

E est un evn de R, M est un sev fermé de E et v appartenant à E\M. On considère f:M+Rv (soe directe) -> R définie par f(x+av)=a.
On veut déduire que M+Rv est fermé de ce que f est linéair , continue et de norme bornée (ce qui n'est déjà pa évident pour moi)

[kazeriahm]

Salut,

de toute facon f continue et f de norme bornée (il faut plutot dire que f a une norme... si elle en a une, elle est nécessairement finie), c'est la même chose non ?

f^-1(R) vaut M+Rv du coup, et R est fermé... tu vois comment conclure ?