équation différentielle de Bernoulli

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Daewin
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équation différentielle de Bernoulli

Messagepar Daewin » 15 Oct 2010, 13:21

Bonjour,

je bloque sur une équation de Bernoulli et j'ai besoin de votre aide.

la voici:

y' - y² + 8xy = 8x²
y'/y² - y²/y² + 8xy/y² = 8x²/y²

avec z=1/y et z'=-1/y²

alors : -z' - 1 + 8xz = 8x²z²

et mon problème c'est le 8x²z², qu'en faire ? ou fallait t'il faire une équation homogène y' - y² + 8xy=0 ?

je n'arrive pas à résoudre cette équation différentielle.. :help:



Pythales
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Messagepar Pythales » 15 Oct 2010, 14:59

Ce n'est pas Bernoulli, c'est Riccati

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Ericovitchi
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Messagepar Ericovitchi » 15 Oct 2010, 15:14

Et vu la solution que donne Wolfram, (lien )je crains que l'on ne puisse pas s'en tirer simplement en cherchant une fonction particulière et en posant y=y1+1/z

JeanJ
Messages: 265
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Messagepar JeanJ » 18 Oct 2010, 08:31

Bonjour,

y' - y² + 8xy = 8x² est une EDO non linéaire de Riccati.
Elle se simplifie en posant : y(x) = -(df/dx)/f ce qui conduit à :
(d²f/dx²) +8 x (df/dx) + 8 x² f = 0 qui est une EDO linéaire.
Pour se ramener à une forme standard, on pose f(x) = exp(-2 x²) F(x)
ce qui donne d²F/dx² - (8 x² +4)F = 0
Les solutions de base de cette EDO sont les fonctions "du cylindre parabolique" (Parabbolic Cylinder Functions) qui sont des formes particulière des fonctions de Kummer.
On trouve les propriétés de ces fonctions spéciales dans les handbooks de fonctions standards, ou par une recherche sur la toile.

 
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