Equation de Bernoulli

[peedro]

Bonjour

J'ai l'équation différentielle (E): (x^3 +1)y' - 3x²y + x(y^3) = 0 à résoudre :

(E) peut s'écrire : y' = (3/(x^3 + 1))x²y + (x/(x^3 + 1))

C'est donc une équation de Bernoulli : donc je pose z = 1/y² et donc
z'= -(2yy')/(y^4) donc -(z'/2) = y/y^3

(E) peut également s'écrire :
y'(y^-3) = (3/(x^3 + 1))x²(y^-2) + (3/(x^3 + 1))
On a donc (E1): -(z'/2) = (3/(x^3 + 1))x²z + (3/(x^3 + 1))
<=> (E1): (z'/2) + (3/(x^3 + 1))x²z = (3/(x^3 + 1))

On résout l'équation homogène z' + (6/(x^3 + 1))x²z = 0
J'arrive à z(x) = (2C)/(x^3 + 1)

Puis je cherche une solution particulière grâce à la méthode de variation de la constante, j'ai donc :
z(x) = (2C(x))/(x^3 + 1) et z'(x) = (2C'(x)/(x^3 + 1)) - (6x² C(x)/(x^3 + 1)²)

Je remplace dans (E1):
(E1):(C'(x)/(x^3 +1))-(3x²C(x)/(x^3 +1)²)+(6x²C(x))/(x^3 +1)²=(x/(x^3+1))

Et les termes contenant les C(x) ne s'annulent pas, et je ne vois pas ou peut être mon erreur !!

Merci.

[guadalix]

Bonjour

J'ai l'équation différentielle (E): (x^3 +1)y' - 3x²y + x(y^3) = 0 à résoudre :

(E) peut s'écrire : y' = (3/(x^3 + 1))x²y + (x/(x^3 + 1))

C'est donc une équation de Bernoulli : donc je pose z = 1/y² et donc
z'= -(2yy')/(y^4) donc -(z'/2) = y/y^3

(E) peut également s'écrire :
y'(y^-3) = (3/(x^3 + 1))x²(y^-2) + (3/(x^3 + 1))
On a donc (E1): -(z'/2) = (3/(x^3 + 1))x²z + (3/(x^3 + 1))
(E1): (z'/2) + (3/(x^3 + 1))x²z = (3/(x^3 + 1))

On résout l'équation homogène z' + (6/(x^3 + 1))x²z = 0
J'arrive à z(x) = (2C)/(x^3 + 1)

Puis je cherche une solution particulière grâce à la méthode de variation de la constante, j'ai donc :
z(x) = (2C(x))/(x^3 + 1) et z'(x) = (2C'(x)/(x^3 + 1)) - (6x² C(x)/(x^3 + 1)²)

Je remplace dans (E1):
(E1):(C'(x)/(x^3 +1))-(3x²C(x)/(x^3 +1)²)+(6x²C(x))/(x^3 +1)²=(x/(x^3+1))

Et les termes contenant les C(x) ne s'annulent pas, et je ne vois pas ou peut être mon erreur !!

Merci.

Je vais peut etre dire une betise, mais c pas grave, je tente... il manque pas un exponentiel?

[fahr451]

Bonjour

J'ai l'équation différentielle (E): (x^3 +1)y' - 3x²y + x(y^3) = 0 à résoudre :

(E) peut s'écrire : y' = (3/(x^3 + 1))x²y + (x/(x^3 + 1))

C'est donc une équation de Bernoulli : donc je pose z = 1/y² et donc
z'= -(2yy')/(y^4) donc -(z'/2) = y/y^3

(E) peut également s'écrire :
y'(y^-3) = (3/(x^3 + 1))x²(y^-2) + (3/(x^3 + 1))
On a donc (E1): -(z'/2) = (3/(x^3 + 1))x²z + (3/(x^3 + 1))
(E1): (z'/2) + (3/(x^3 + 1))x²z = (3/(x^3 + 1))

On résout l'équation homogène z' + (6/(x^3 + 1))x²z = 0
J'arrive à z(x) = (2C)/(x^3 + 1)

Puis je cherche une solution particulière grâce à la méthode de variation de la constante, j'ai donc :
z(x) = (2C(x))/(x^3 + 1) et z'(x) = (2C'(x)/(x^3 + 1)) - (6x² C(x)/(x^3 + 1)²)

Je remplace dans (E1):
(E1):(C'(x)/(x^3 +1))-(3x²C(x)/(x^3 +1)²)+(6x²C(x))/(x^3 +1)²=(x/(x^3+1))

Et les termes contenant les C(x) ne s'annulent pas, et je ne vois pas ou peut être mon erreur !!

Merci.

bonjour
pourquoi le 6 (gras) est-il devenu un 3 (gras)?

[guadalix]

bonjour
pourquoi le 6 (gras) est-il devenu un 3 (gras)?

Z'/2...je crois

[peedro]

On a :
z' + (6/(x^3 + 1))x²z = 0 et z' = dz/dx donc :

dz/dx = - (6/(x^3 + 1))x²z
<=> dz/z = - (6/(x^3 + 1))x² dx

On primitive les deux membres :

ln |z| = -2 ln |x^3 + 1| + D
|z| = exp (-2 ln |x^3 + 1| + D)
|z| = exp (-2 ln |x^3 + 1|) exp (D)
z = exp (2/ln |x^3 + 1|) K
z = 2K/|x^3 + 1|
z = 2C/(x^3 + 1)

Donc pour moi l'exponentiel s'en va !!

[peedro]

Oui parcequ'on a z'/2 ....

[guadalix]

On a :
z' + (6/(x^3 + 1))x²z = 0 et z' = dz/dx donc :

dz/dx = - (6/(x^3 + 1))x²z
dz/z = - (6/(x^3 + 1))x² dx

On primitive les deux membres :

ln |z| = -2 ln |x^3 + 1| + D
|z| = exp (-2 ln |x^3 + 1| + D)
|z| = exp (-2 ln |x^3 + 1|) exp (D)
z = exp (2/ln |x^3 + 1|) K
z = 2K/|x^3 + 1|
z = 2C/(x^3 + 1)

Donc pour moi l'exponentiel s'en va !!

Tres bien, desolé pour mon erreur, c vrai que c evident.

[fahr451]

:

z = exp (2/ln |x^3 + 1|) K
z = 2K/|x^3 + 1|
z = 2C/(x^3 + 1)

!

voila l'erreur
carré et non un 2...

[guadalix]

voila l'erreur
carré et non un 2...

bien vu.....

[peedro]

Ah ! oui en effet... Merci