Ensemble fermé : difficulté de compréhension

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RD15
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Ensemble fermé : difficulté de compréhension

par RD15 » 21 Juin 2008, 23:36

Bonjour,
Je n'arrive pas à comprendre la définition suivante d'un ensemble fermé :

Un ensemble S de R^m est fermé si toute suite {xn} de n=1 à l'infini d'éléments de S possède une limite appartenant également à S.

Même si intuitivement, après avoir vu la notion d'ensemble ouvert, je comprend la notion d'ensemble fermé. Mais pourquoi cette définition ? Que viennent faire les suites ?

Merci pour votre aide.



Joker62
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par Joker62 » 21 Juin 2008, 23:47

C'est pas une définition, c'est une propriété et celle que tu cites est fausse :

La vraie est : Si on a une suite (x_n) d'élément de F qui tend vers une certaine limite l, alors la limite est encore élément de F

sclormu
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par sclormu » 22 Juin 2008, 02:07

Joker62 a écrit:C'est pas une définition, c'est une propriété et celle que tu cites est fausse :


Ceci dit dans le cas d'un espace à base dénombrable de voisinages, comme dans le cas métrique, alors il y a équivalence. D'ailleurs c'est souvent de cette façon qu'on définit les fermés dans R^n, dans les niveaux où la topologie générale n'a pas encore été abordée.

Joker62
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par Joker62 » 22 Juin 2008, 02:10

Oui, c'est dommage de prendre cette caractérisation séquentielle comme définition.

Un ensemble F est fermé quand son complémentaire est ouvert, et là, on est beaucoup plus tranquil. :)

ThSQ
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par ThSQ » 22 Juin 2008, 09:59

Joker62 a écrit:Oui, c'est dommage de prendre cette caractérisation séquentielle comme définition.

Un ensemble F est fermé quand son complémentaire est ouvert, et là, on est beaucoup plus tranquil. :)


Il y a plein de façons équivalentes de définir des topologies : on peut se donner les ouverts, ou les fermés. Il y a des cas où c'est plus simple de définir d'abord les fermés (Zariski ...)
On peut aussi définir des topologies en se donnant un opérateur qui vérifie les propriétés de l'adhérence (). ça permet de définir les fermés, à partir des limites de suites par exemple. C'est d'ailleurs bien ce que l'on fait pour définir la topologie de la convergence simple !

RD15
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par RD15 » 22 Juin 2008, 18:59

sclormu a écrit:D'ailleurs c'est souvent de cette façon qu'on définit les fermés dans R^n, dans les niveaux où la topologie générale n'a pas encore été abordée.

Merci pour vos réponses.
Effectivement la topologie générale n'a pas encore été abordée dans mon livre.

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nuage
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par nuage » 22 Juin 2008, 21:56

RD15 a écrit:Un ensemble S de R^m est fermé si toute suite {xn} de n=1 à l'infini d'éléments de S possède une limite appartenant également à S.

C'est faux.
sclormu a écrit:Ceci dit dans le cas d'un espace à base dénombrable de voisinages, comme dans le cas métrique, alors il y a équivalence. D'ailleurs c'est souvent de cette façon qu'on définit les fermés dans R^n, dans les niveaux où la topologie générale n'a pas encore été abordée.

Et même dans ce cas.
On pourrait dire >.

sclormu
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par sclormu » 22 Juin 2008, 23:26

nuage a écrit:C'est faux.

Et même dans ce cas.
On pourrait dire >.


Effectivement, je n'avais pas vu passer le "toute suite admet une limite" dans sa définition !

:stupid_in

 

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