Ensemble fermé : difficulté de compréhension
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RD15
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par RD15 » 21 Juin 2008, 23:36
Bonjour,
Je n'arrive pas à comprendre la définition suivante d'un ensemble fermé :
Un ensemble S de R^m est fermé si toute suite {xn} de n=1 à l'infini d'éléments de S possède une limite appartenant également à S.
Même si intuitivement, après avoir vu la notion d'ensemble ouvert, je comprend la notion d'ensemble fermé. Mais pourquoi cette définition ? Que viennent faire les suites ?
Merci pour votre aide.
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Joker62
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par Joker62 » 21 Juin 2008, 23:47
C'est pas une définition, c'est une propriété et celle que tu cites est fausse :
La vraie est : Si on a une suite (x_n) d'élément de F qui tend vers une certaine limite l, alors la limite est encore élément de F
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sclormu
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par sclormu » 22 Juin 2008, 02:07
Joker62 a écrit:C'est pas une définition, c'est une propriété et celle que tu cites est fausse :
Ceci dit dans le cas d'un espace à base dénombrable de voisinages, comme dans le cas métrique, alors il y a équivalence. D'ailleurs c'est souvent de cette façon qu'on définit les fermés dans R^n, dans les niveaux où la topologie générale n'a pas encore été abordée.
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Joker62
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par Joker62 » 22 Juin 2008, 02:10
Oui, c'est dommage de prendre cette caractérisation séquentielle comme définition.
Un ensemble F est fermé quand son complémentaire est ouvert, et là, on est beaucoup plus tranquil. :)
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ThSQ
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par ThSQ » 22 Juin 2008, 09:59
Joker62 a écrit:Oui, c'est dommage de prendre cette caractérisation séquentielle comme définition.
Un ensemble F est fermé quand son complémentaire est ouvert, et là, on est beaucoup plus tranquil.
Il y a plein de façons équivalentes de définir des topologies : on peut se donner les ouverts, ou les fermés. Il y a des cas où c'est plus simple de définir d'abord les fermés (Zariski ...)
On peut aussi définir des topologies en se donnant un opérateur qui vérifie les propriétés de l'adhérence (
). ça permet de définir les fermés, à partir des limites de suites par exemple. C'est d'ailleurs bien ce que l'on fait pour définir la topologie de la convergence simple !
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RD15
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par RD15 » 22 Juin 2008, 18:59
sclormu a écrit:D'ailleurs c'est souvent de cette façon qu'on définit les fermés dans R^n, dans les niveaux où la topologie générale n'a pas encore été abordée.
Merci pour vos réponses.
Effectivement la topologie générale n'a pas encore été abordée dans mon livre.
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nuage
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par nuage » 22 Juin 2008, 21:56
RD15 a écrit:Un ensemble S de R^m est fermé si toute suite {xn} de n=1 à l'infini d'éléments de S possède une limite appartenant également à S.
C'est faux.
sclormu a écrit:Ceci dit dans le cas d'un espace à base dénombrable de voisinages, comme dans le cas métrique, alors il y a équivalence. D'ailleurs c'est souvent de cette façon qu'on définit les fermés dans R^n, dans les niveaux où la topologie générale n'a pas encore été abordée.
Et même dans ce cas.
On pourrait dire >.
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sclormu
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par sclormu » 22 Juin 2008, 23:26
nuage a écrit:C'est faux.
Et même dans ce cas.
On pourrait dire >.
Effectivement, je n'avais pas vu passer le "toute suite admet une limite" dans sa définition !
:stupid_in
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