Doutes sur le changement de variable

par **Lostounet** » 04 Avr 2015, 17:07

Bonsoir,

Dans le cadre des intégrales sur un segment, je sais que le théorème dit que:
Soit phi une application de classe C1 sur [a ; b]. Soit f continue sur [phi(a); phi(b)]. On suppose que le domaine d'arrivée de phi est inclus dans le domaine de définition de f, et dans ce cas on a (...).

Pour les intégrales généralisées, je sais que phi doit être une bijection monotone de [a ; b] sur [phi(a); phi(b)]. Est-ce que c'est bien ça?

Le souci, c'est que notre professeur ne nous laisse pas écrire des choses du type "posons u = cos t". Il faut qu'on écrive soit phi... et soit f...

Le souci c'est que je ne vois souvent pas l'application "phi" sauf dans des cas évidents. Pouvez-vous me donner un exemple de rédaction rigoureuse de changement de variable, dans un sens ou dans l'autre?
Quelqu'un pourrait-il par ailleurs me donner un exemple d'intégrale où ça coince pour la bijection monotone (et si on peut y remédier...).

Merci d'avance.

par **mathelot** » 04 Avr 2015, 17:52

bonjour,
il y a deux types de changement de variables

type 1

La dérivée

est continue et/ou monotone

là,

est une mesure de Stieltjes (à confirmer)

exemple

type 2

est supposée être un difféomorphisme (bijective, bi-continue,

et

de classe c1)

exemple

en espérant ne pas avoir écrit trop d'âneries...

par **Lostounet** » 05 Avr 2015, 10:56

Bonjour,

Merci pour ta réponse.
Est-ce que tu te places sur un segment ou un intervalle? J'ai l'impression que c'est sur un segment ..? Sur un segment il suffit juste que phi soit de classe C1 (pour ton premier exemple), tu dis que phi' doit être monotone mais je ne vois pas pourquoi...?
Au pire tu pourrais dire "positive"...

Je vois bien les deux types de changement de variable mais est-ce que par exemple c'est rigoureux d'écrire phi'(t)*dt = dx? Quel est l'objet "dx" mathématiquement...

par **mathelot** » 05 Avr 2015, 11:14

Lostounet a écrit:Bonjour,

Merci pour ta réponse.
Est-ce que tu te places sur un segment ou un intervalle? J'ai l'impression que c'est sur un segment ..? Sur un segment il suffit juste que phi soit de classe C1 (pour ton premier exemple), tu dis que phi' doit être monotone mais je ne vois pas pourquoi...?
Au pire tu pourrais dire "positive"...

Je vois bien les deux types de changement de variable mais est-ce que par exemple c'est rigoureux d'écrire phi'(t)*dt = dx? Quel est l'objet "dx" mathématiquement...

dt est la mesure de Lebesgue et mesure les intervalles

quant au dx

c'est une mesure qui correspond à l'intégrale de Stieltjes.

Grosso modo, on met en correspondance les mesures des boréliens
et les formes linéaires définies sur des espaces de fonctions.

ici

par **Lostounet** » 05 Avr 2015, 11:52

Ouh là...

Je suis qu'en deuxième année de prépa. J'ai pas encore vraiment fait de la théorie de l'intégration ... :/
Mais je me pose les bonnes questions..!

:ptdr:

par **mathelot** » 05 Avr 2015, 12:54

je vais essayer de re-regarder.

il y a le type I

où

est supposée continue.
On intègre la dérivée (continue)de

où F est une primitive de f.

ici

par **zygomatique** » 05 Avr 2015, 13:50

salut

sans parler de mesure de Stieljes ... tu peux l'interpréter comme une densité ....

par **Lostounet** » 05 Avr 2015, 14:14

D'accord et sinon avez-vous des exemples de rédaction ou des cas d'un phi non monotone sur un intervalle?

par **mathelot** » 05 Avr 2015, 14:45

on pose x=tan(t) qui est bijectif de

sur

par **Doraki** » 05 Avr 2015, 14:50

C'est quoi l'énoncé précis de ton théorème ?
A mon avis si tu prends phi(x) = x^2 ou x^3-x tu vas vite obtenir des horreurs.

par **zygomatique** » 05 Avr 2015, 17:54

à voir ...

soit

effectue le changement de variable

avec n entier non nul ...

...

par **Lostounet** » 05 Avr 2015, 18:34

Je ne vois pas l'application phi xD

est-ce Arccos?

par **Doraki** » 05 Avr 2015, 18:40

Ben comme tu ne dis pas ce que tu fais avec phi dans ton cours on ne peut pas vraiment savoir ce que tu veux qu'on fasse.

par **Lostounet** » 05 Avr 2015, 18:45

Dans le post de Mathelot, il y a bien une application phi qui traine dans les deux "cas" de changement de variable. C'est la même dans mon cours.
Dans l'exemple de zygomatique, il pose t = cos(n*pi*x).

Quelle est l'application phi dans cet exemple?

par **paquito** » 05 Avr 2015, 21:21

Dans tous les bons ouvrages de sup et de spé,on trouve une méthode pratique pour appliquer un changement de variable:exemple,

I=

on pose

; u doit être dérivable mais la bijectivité n'est pas nécessaire;

on a:

et

d'où

Il faudrait peut être comprendre que l'objectif des maths est,après un passage un peu délicat éventuellement,est de déboucher sur des résultats facilement mémorisables et applicables;
les formules donnant les solutions de ax^3+bx^2+cx+d=0 en fonction de a, b, c et d n'ont par exemple strictement aucun intérêt.

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