Dimension d'un sous espace propre et multiplicté

[Don vito]

Bonjour,
J'aimerai connaitre la preuve du corollaire (du cour ) suivant:

la dimension de Ea sous espace propre associé à la valeur propre a est inférieur ou égale à sa multiplicité dans le polynôme caractéristique.


Merci

[wserdx]

Un corollaire est une conséquence immédiate d'une autre propriété, en général un théorème. Quel est-il ?

[Don vito]

Si F ss ev de E et F stable par u , Alors : le polynôme caractéristique de l'endomorphisme induit par u sur F divise le polynôme caractéristique de u .

[wserdx]

Et donc quel est le polynôme caractéristique de l'endomorphisme induit par u sur sur un sous espace associé à une valeur propre a de u?

[Don vito]

C'est bon merci je vois maintenant la réponse , merci infiniment ...j'y avais penser mais j'avais du mal à le concevoir (imaginer) je crois que ça vient au fur et à mesure que l'on travaille. Merci encore ;)

Ps:le poly carc est (a - X)^(dimF) qui divise poly car de u , donc la multiplicité de a est superieure à dim F.

[Don vito]

S'il te plait wserdx , j'ai une une confusion dans une notion j’espère avoir ta réponse.

Pour A nilpotente on a bien Sp(A) = {0} . Soit maintenant X de KerA, on veut le compléter en une base...
c'est à ce moment que j'ai senti que je suis confus!Enfait je vais compléter X par des éléments d' une base de quoi pour obtenir une base de quoi ? de E?qu'est ce que E puisqu'on définit que la matrice A?
Tu me rendras un grand service.

[wserdx]

S'il te plait wserdx , j'ai une une confusion dans une notion j’espère avoir ta réponse.

Pour A nilpotente on a bien Sp(A) = {0} . Soit maintenant X de KerA, on veut le compléter en une base...
c'est à ce moment que j'ai senti que je suis confus!Enfait je vais compléter X par des éléments d' une base de quoi pour obtenir une base de quoi ? de E?qu'est ce que E puisqu'on définit que la matrice A?
Tu me rendras un grand service.

Il s'agit implicitement d'une base de espace vectoriel de dimension sur un corps (rationnels, réels, complexes par exemple). Toute matrice d'ordre à coefficients dans ce corps représente un endomorphisme de

[Don vito]

X qui est de Mn,1(K) ne cause pas de problème ?ça m'embrouille :s.(je vois que comme si les éléments de E sont dans Mn,1(K) )

Je te remercie pour ta patience et ton intérêt

[wserdx]

Oui, je ne vois pas de problème. Il suffit de ne pas se mélanger les pinceaux entre les vecteurs-ligne et les vecteurs-colonne.