Diificulté à trouver le Reste d'une division euclidienne

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
ayimdji
Messages: 3
Enregistré le: 08 Jan 2010, 15:06

Diificulté à trouver le Reste d'une division euclidienne

par ayimdji » 08 Jan 2010, 15:19

Bonjour à tous,
je suis étudiant en 1ere année DUT et je bute sur un exercice concernant les polynôme depuis plusieurs jours.
Voici le problème :

Les restes de la division euclidienne d'un polynome P par (x-1), (x-2) et (x-3) sont respectivement 3, 7 et 13.
Calculer le reste de la division euclidienne de P par (x-1)(x-2)(x-3).

Je reste dans l'attente de quelques indications et/ou réponse.

Merci d'avance.



Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21483
Enregistré le: 11 Nov 2009, 21:53

par Ben314 » 08 Jan 2010, 15:39

Salut.
1) Si tu écrit la division euclidienne de P(X) par (X-1)(X-2)(X-3) : P(X)=(X-1)(X-2)(X-3)+R(X) quel est le degrés de R(X) ?
2) Ensuite, vu les hypothèses, que peut tu dire de P(1) ? P(2) ? P(3) ?
3) Qu'en déduit tu concernant R ?

Pour terminer, il y a plusieurs méthodes, comme le degrés de R n'est pas trop grand, tu peut écrire R(X)=a+bX+... et utiliser les réponses du 3) pour trouver a,b,...

Bon Travail...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

ayimdji
Messages: 3
Enregistré le: 08 Jan 2010, 15:06

Résolu

par ayimdji » 09 Jan 2010, 10:49

Bonjour,
merci de votre prompte réaction. En suivant pas à pas vos indications :
1) En écrivant P(X)=(X-1)(X-2)(X-3)Q(X) + R(X), on a R=0 ou deg(R) < 3.
2) D'après les hypothèses, P(X)=(X-1)Q1(X) + 3, donc P(1) = 3. De même P(2) = 7, p(3) = 13.
3) Comme P(1) = R(1), P(2) = R(2), P(3) = R(3), on déduit que R(X) est tel que R(1) = 3, R(2) = 7, R(3) = 13.

Comme deg(R) < 3, il peut s'écrire a + bX + cX2.
Et à l'aide de 3) on arrive à un système de 3 équations à 3 inconnues d'où on tire a=b=c=1.

R(X) = 1 + X + X2.

Merci encore.

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21483
Enregistré le: 11 Nov 2009, 21:53

par Ben314 » 09 Jan 2010, 10:54

Impeccable.

Si ça t'interesse, une méthode un peu plus théorique pour calculer R consiste a utiliser les trois polynômes suivants :
qui vaut 1 en X=1 et 0 en X=2 ou 3
qui vaut 1 en X=2 et 0 en X=1 ou 3
qui vaut 1 en X=3 et 0 en X=1 ou 2
Il est alors clair que R(X)=3.R1(X)+7.R2(X)+13.R3(X)...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

ayimdji
Messages: 3
Enregistré le: 08 Jan 2010, 15:06

par ayimdji » 11 Jan 2010, 09:36

Méthode intéressante mais moins intuitive que la première à mon avis car il faut vraiment être inspiré pour penser aux division par (1-2)(1-3) ...etc.
Merci encore.

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : novicemaths et 38 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite