Convergence de suites réelles.

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Hipollene
Membre Naturel
Messages: 38
Enregistré le: 06 Nov 2007, 19:23

Convergence de suites réelles.

Messagepar Hipollene » 11 Nov 2007, 18:10

Bonjour !

Je fais des exos de maths en plus du cours, mais là je sèche... est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ?

Enoncé :
Soit (Xn) une suite réelle. On suppose que les suites (X2n), (X2n+1) et (X3n) convergent. Démontrer que la suite (Xn) converge.


Je ne sais pas si je peux dire que (X2n), (X2n+1) et (X3n) sont des suites extraites de (Xn)...
Je sais que "toute suite extraite d'une suite convergente converge"... mais est-ce que la réciproque est vraie ?
Je pense qu'il va falloir utiliser des théorèmes de suites extraites en tout cas, non ?

Dans le livre, en guise de correction, ils disent : "Considérer les suites extraites (X6n) et (X6n+1)"... cela m'inspire encore moins !!!

A bientôt !



bitonio
Membre Rationnel
Messages: 764
Enregistré le: 28 Mai 2006, 16:29

Messagepar bitonio » 11 Nov 2007, 18:33

La réciproque est bien entendu fausse. Ce n'est pas parce que quelques suites extraites converges que la suite converge. Pour s'en convaincre, il suffit de considérer . On a bien et ... qui convergent, mais ne converge pas.

Si on analyse ce qui t'es donné:

tu sais que la suite (X2n) converge vers , donc que les termes pairs convergent . De même avec la suite impair qui converge vers . La troisième suite te sert à démontrer que assez simplement, ce qui permet de conclure quant à la convergence de (Xn).

Idée de rédaction pour montrer k=l. On sait que (X3n) converge vers , donc en particulier que toute suite extraite converge vers la même valeur . Or, (X6n) est une suite extraite de (X2n) qui converge vers l donc (X6n) converge vers l. D'autre part, (X(6n+3)) est une suite extraite de (X2n+1) et également de (X3n), donc k=l=

Bonne chance

Hipollene
Membre Naturel
Messages: 38
Enregistré le: 06 Nov 2007, 19:23

Messagepar Hipollene » 12 Nov 2007, 22:26

Je vous remercie beaucoup ! Vos explications m'ont éclairée...
A bientôt !

 

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