Changement de variable polaire pour un demi-cercle décentré

[aco]

Bonjour,

Je suis face à un problème dans les intégrales doubles auquel je n'avais jamais été confronté, c'est-à-dire que l'on me demande de calculer la double intégrale sur le domaine D+ défini comme la moitié supérieure (y>=0) du cercle de centre A(1,0) et de rayon 1, de la fonction y*sqrt(x^2+y^2).

On m'indique d'utiliser le changement de variable polaire, sauf qu'ici je ne sais pas entre quoi et quoi doit varier r (x=rcost, y=rsint) pour parcourir tout et uniquement le domaine D+...

Merci d'avance !!

[fatal_error]

salut,

comme ca, je dirais r varie de 0 a 1
et t de 0 a pi (pour le demi cercle supérieure)

[digardel]

avec ton changement de variable tu décris le cercle de centre 0 et de rayon r!!!!

[Luc]

Salut,

C'est que la paramétrisation n'est pas la même que pour un cercle de centre O. Ici, x= rcost, y=1+ rsint. t varie entre 0 et + Pi. Ainsi tu parcours la moitié supérieure du cercle de centre (0,1) et de rayon r.

Bien cordialement,

Luc

Remarque : Ce n'est pas plutot le cercle de centre (1,0) ? Parce que la moitié supérieure du cercle que j'ai décrit n'est pas y>=0 comme tu dis mais y>=1. Vérifie :)

[digardel]

et puis un changement de variable c est en rho téta
mais la je vais voir MOnfils Simon A demain

[aco]

oui excusez-moi le centre c'est bien (1,0)...
Le problème c'est que quand j'utilise le changement de variable x= rcost + 1 et y=rsint mon calcul d'intégrale double ne se simplifie pas bien, je dois intégrer dans le domaine polaire r²sint*(r²+1+2rcost)^(1/2)drdt...

[fatal_error]

re,

en intégrant par rapport a t, il me semble qu'on a :

[aco]

Désolé mais je ne vois pas comment tu réussis à intégrer cette expression...

[Narhm]

Bonjour,
Dis moi si je me trompe mais ton Domaine de départ est bien (soit le demi cercle supérieur de centre (1,0) et de rayon 1 ) ?

Si c'est bien ça, alors pose le changement en polaire x=rcos(t), y=rsin(t).
Ainsi ton nouveau domaine va etre défini par et

Ton intégrale double devient alors
Et ceci s'integre assez bien normalement.

[aco]

Merci cela me paraît plus pratique. Mais par contre je ne vois pas pourquoi faire varier x jusqu'à 2cost... Je vois maintenant que c'est bon graphiquement mais comment as-tu fait pour trouver ça ?

[Narhm]

Tout simplement avec les équations qui définissent ton domaine et principalement le cercle, ou sinon avec un peu de géométrie :

Regarde le triangle OBM ou B(2,0) et ou M est un point se promène sur le cercle. Ce triangle est rectangle en M car le triangle est inscrit dans le cercle et que l'un de ces cotés est le diamètre du cercle.
Bref, avec ce triangle rectangle, vu que OB = 2, tu as facilement OM = 2cos(t).
ou t= angle(OB,OM).

[aco]

Merci beaucoup pour tes indications je n'y avais pas pensé du tout !