Boréliens de R

[Ncdk]

Bonjour,

J'ai un petit exercice, mais j'ai du mal à commencer.

Je dois montrer que la plus petite tribu qui contient les intervalles de la forme avec est .

Mon problème que je voudrais écrire ce que c'est formellement "la plus petite tribu qui contient les intervalles de la forme avec ".

Au vu des exercices que j'ai pu faire, quand on cherche une plus petite tribu au sens de l'inclusion, ça ressemble à une intersection de tribus.

Du coup notre "plus petite tribu" que je vais noté c'est une intersection de tribus, mais lesquelles ? Mon objectif est d'arriver à écrire :

avec des tribus qui contiennent les intervalles de la forme avec

[zygomatique]

salut

et comment as-tu défini B(R) ?

[Ncdk]

Je définie les boréliens : avec tribu de tel que pour tout ouvert de , est dans

Mais j'ai du mal à me convaincre de cette définition, car en terme ensembliste, il existe plusieurs tribus en fait et je voulais savoir comment une tribu est définit, par exemple , je sais pas quoi mettre dans cet ensemble, ça me parait être un léger détail, mais qui me bloque.

[Ben314]

Salut,
RAPPEL DU COURS : Partant de la définition de ce qu'est une tribu, on montre que toute intersection (finie ou infinie) de tribus est une tribu.
Donc, étant donné un ensemble d'ensemble X quelconque, si on considère l'intersection de toutes (*) les tribus contenant X, ça va être une tribu qui évidement sera la plus petite (pour l'inclusion) tribu contenant X. Cela prouve qu'il existe une "plus petite tribu" contenant X (ce qui n'est à priori pas évident). Elle est évidement appelée "tribu engendré par X".

Après, ce qu'il faut évidement comprendre, c'est que, sauf cas très particulier (par exemple si Omega est fini) on ne risque pas d'énumérer l'ensemble des tribu contenant X et qu'assez souvent, on n'arrive pas non plus à caractériser précisément quels sont les éléments de la tribu engendré par X ce qui n'empèche absolument pas de travailler avec cette notion là.
C'est exactement la même chose que quand tu écrit que la solution de je sais pas quelle équation est racine(2) en faisant comme si tu savait de quoi tu parle alors que je suis pas sûr du tout que tu puisse par exemple me donner la 10 000 em décimale de racine(2). On sait que racine(2), c'est un "truc" qui au carré donne 2 et çà suffit pour bosser avec.
Là, c'est pareil, la tribu engendré par X, c'est la plus petite tribu contenant X et de savoir si un ensemble donné est ou n'est pas dans cette tribu, ben c'est pas forcément évident, mais... ça n'empêche absolument pas de bosser avec.

Enfin, bref, cherche pas à "caractériser" les éléments qui sont par exemple dans la tribu des boréliens, tu n'y arrivera pas.
Et pour revenir à l'exercice, il faut bien comprendre qu'on ne te demande pas de caractériser la tribu des boréliens ni celle engendré par les ]a,+oo[, on te demande de montrer que c'est les mêmes.
Pour reprendre l'analogie avec racine(2), c'est comme si on te demandait de montrer que racine(8)=2.racine(2) : de chercher à "caractériser" racine(8) et 2.racine(2) en calculant leurs décimales respectives n'est pas du tout la bonne méthode.

[Ncdk]

D'accord, donc je cherchais des choses alors que je n'avais pas besoin de le faire. Donc grossièrement, ce que je définie comme les boréliens de R c'est l'intersection de tribu contenant les ouverts de R, mais on ne connait pas quels ouverts appartiennent à quelle tribu si j'ai bien compris, mais en réalité on s'en fiche, ça nous empêche pas de travailler avec.

Du coup, pour l'exercice, c'est quasiment la même définition que les boréliens, sauf que ça diffère sur la forme des ouverts et l'exercice va me permettre de dire qu'en réalité, les ouverts de la forme ]a;+oo[ sont les mêmes que ceux de B(R) non ?

[Ben314]

C'est franchement pas clair ton laïus. Par exemple la notion de "... les ouverts des boréliens de R..." je vois pas trop ce que ça peut vouloir dire : la tribu des boréliens sur R, c'est la tribu engendré par les ouverts de R donc évidement tout ouvert de R est un borélien...

Ici, et comme toujours sur les exercices basiques concernant une notion, ben faut revenir au B-A-BA.
Tu doit montrer que deux ensembles sont égaux (en l'occurrence des tribu, c'est à dire des ensemble d'ensembles) et le B-A-BA, ben c'est que pour montrer l'égalité de deux ensemble, on procède par double inclusion.

Je te fait la plus simple des deux :
La tribu de l'exo, c'est la tribu engendré par les ]a,+oo[, c'est à dire la plus petite tribu contenant tout les ]a,+oo[ ce qui signifie qu'elle est contenue dans n'importe quelle tribu qui contient tout les ]a,+oo[.
Pour montrer qu'elle est contenue dans la tribu des borélien, il suffit donc de montrer que tout les ]a,+oo[ sont dans la tribu des boréliens. Et c'est évidement vrai vu que ce sont des ouverts de R et que la tribu des borélien est engendré par les ouverts de R (donc évidement, elle contient entre autre tout les ouverts de R).

A toi pour l'autre inclusion : le principe est le même, mais sur la fin, il faut un peu plus réfléchir...

[Ncdk]

Ah oui ! C'est ça qui m'a fait comprendre en fait "La tribu de l'exo, c'est la tribu engendré par les ]a,+oo[, c'est à dire la plus petite tribu contenant tout les ]a,+oo[ ce qui signifie qu'elle est contenue dans n'importe quelle tribu qui contient tout les ]a,+oo[."

Du coup je dois montrer que B(R) = T où où A sont des tribus qui contiennent au moins tous les ouverts de la forme ]a;+oo[ pour tout a dans R.

Il faut que je montre que

Soit O un ouvert de R, alors il existe et dans R tel que . Il suffit de montrer que

On peut écrire . Il reste à montrer que et pour finir on peut écrire :



Clairement c'est dans T.

[Ben314]

C'est exactement ça.
Après, si tu es sensé le rédiger au propre, vu que c'est assez basique, je pense que c'est pas mal de préciser explicitement que, vu que T est une tribu, elle est stable par réunion/intersection dénombrable et que c'est ça qui fait marcher les deux trucs que tu utilise.

[Ncdk]

Ah oui, réunion et intersection dénombrable, dans mon cours je l'ai, c'est pas dis explicitement, mais j'avais un doute pour l'intersection, j'ai confondu avec la notion de topologie me semble qu'il y a quelque chose avec intersection finie et non pas quelconque.

J'avais une autre question aussi, c'est sur le même théme, mais sauf qu'on s'intéresse aux boréliens de R^2

Je dois montrer que tout ouvert de R^2 est une union dénombrable d'ouverts de la forme UxV où U et V sont des ouverts de R.

La preuve ressemble pas à ce que j'ai fait dans le précédent post ?

[Ben314]

Concernant les tribus, dans la définition on demande à ce que ce soit stable par passage au complémentaire et par réunion dénombrable et ça implique la stabilité par intersection dénombrable.

Et il ne faut pas confondre avec la définition d'une topologie où, pour les ouverts on demande la stabilité par réunion quelconque et par intersection finie (et pas du tout par passage au complémentaire).
Bien que dans les deux cas, ce soient des ensemble d'ensemble, il n'y pas vraiment de point communs aux deux notions (en tout cas pas à un niveau relativement élémentaire).

Sinon, concernant ton truc dans R², je sais pas trop quoi te répondre vu que ça dépend de ce que tu prend comme définition de la topologie sur R².
Je sais pas si tu as vu que, si X et Y sont des espaces topologiques alors il y a une structure topologique "naturelle" sur le produit XxY (la topologie la moins fine qui rend les projections continues). Et si on prend ça pour définir la topologie de R²=RxR, alors le truc qu'on te demande de montrer, ben y'a rien à montrer vu que c'est la définition de la topologie produit (dans le cas d'un produit fini).

Avec une autre définition de la topologie sur R², il peut éventuellement y avoir un petit quelque chose à dire concernant le fait que les ouverts de R² sont des réunions de rectangles ouverts ]a,b[x]c,d[.

[Ncdk]

Je ne sais pas si on doit se servir de la topologie. L'énoncé est exactement : Soit A la plus petite tribu de R^2 qui contient les ouverts de la forme UxV avec U et V des ouverts de R. Le but étant de montrer que A=B(R^2)

Le sens direct est plutôt evident, mais pour l'autre sens il faut que je montre que "tout ouvert de R^2 est une union dénombrable d'ouverts de la forme UxV".

Après je pourrais en déduire la 2ème inclusion (normalement )

PS : Avec un dessin, cela fonctionne bien, mais je doute qu'un dessin suffise pour montrer que tout ouvert de R^2 est une union dénombrable d'ouverts de la forme UxV.

[Ben314]

J'avais effectivement lu trop vite : le fait que tout ouvert de R² soit réunion de carrés ouverts ne pose aucun problème quelque soit la définition que l'on prend de la topologie sur R². Par exemple si on la définie à l'aide d'une des métriques usuelles alors, quelque soit la métrique usuelle prise, toute boule ouverte centré en (xo,yo) contient un carré ouvert centré en (xo,yo).
Par contre, le fait que tout ouvert soit réunion dénombrable de carrés demande effectivement un peu plus de réflexion, mais on s'en sort facilement en ne considérant par exemple que des carrés ouverts dont les abscisses et ordonnées des sommets sont des rationnels : il est de nouveau clair que toute boule ouverte centré en (xo,yo) contient un carré ouvert centré en (xo,yo) dont les sommets sont à coordonnées rationnelles et, d'un autre coté, vu que est dénombrable, il n'y a qu'un nombre dénombrable de carrés dont les abscisses et ordonnées des sommets soient rationnels.

[Ncdk]

C'est pas plutôt Q^2 que tu voulais dire ?

Sinon ça peut servir de preuve ce que tu viens de dire ?

[Ben314]

En fait, c'est ni Q^2, ni Q^4, mais... Q^3 (et même plus précisément Q^2xQ*+ ) : pour définir un carré ouvert dont les sommets sont à coordonnées rationnelles, il faut (et il suffit de) se donner les coordonnées du coin bas gauche (= 2 rationnels) plus la longueur du coté (= 1 rationnel strictement positif).
ça serait Q^4 si on considérait des rectangles et Q^2 si on ne considère que les points à coordonnées rationnelle

Enfin, de toute façon, on s'en fout : c'est dénombrable...

Et sinon,ben oui, il me semble bien que c'est une preuve du fait que tout ouvert de R² est réunion au plus dénombrable de carrés ouverts.

[Ncdk]

Très bien merci, dit comme ça je vois pas bien ton explication, mais avec un petit dessin je pense que ça va être bien plus parlant, je vais allez faire ça