(G, *) avec *=(x + y) / (1 + x y)

[ortollj]

Bonjour
Groupes - partie 1 : définition

texte exo a 17 min 14 sec
soit G \forall x,y \in ]-1,1[ , on definit x*y=f(x, y) \, = \,\frac{x + y}{1 + x \; y}
pour repondre a la question a) montrer que * est une loi de composition interne
je suppose que si je reponds

ma reponse est ok ?, je cherche depuis hier soir :dodo: et c'est tout ce que j'ai trouvé :mur: ,
mais je suppose qu'il y a sans doute une reponse plus evidente ?

[zygomatique]

salut

je ne comprends rien de ce que tu fais ...

x * y = (x + y)/(1 + xy) avec x, y dans ]-1, 1[

on démontre simplement les trois propriétés d'un groupe ::

0/ * est une loi de composition interne
1/ * possède un élément neutre et tout élément possède un inverse
2/ * est associative

....

[ortollj]

salut

je ne comprends rien de ce que tu fais ...

x * y = (x + y)/(1 + xy) avec x, y dans ]-1, 1[

on démontre simplement les trois propriétés d'un groupe ::

0/ * est une loi de composition interne
1/ * possède un élément neutre et tout élément possède un inverse
2/ * est associative

....

peut etre as tu mal lu ma question, elle portait sur la question a) uniquement :doh:

[zygomatique]

première méthode :

-1 < x < 1 et -1 < y < -1 => -2 < x + y < 2

-1 < x < 1 et -1 < y < 1 => ... < 1 + xy < ... ?


si la première méthode ne marche pas ....

deuxième méthode : on fixe y dans ]-1, 1[ et on étudie la fonction x --> x * y

....

[ortollj]

première méthode :

-1 -2 ... < 1 + xy < ... ?

si la première méthode ne marche pas ....

....

je confirme 0+\epsilon < 1 + xy < 2 ne devrait pas m'etre tres utile.
mais si tu cherches des méthodes qui ne marchent pas, demande moi , j'en ai deja essayé plusieurs et je crois qu'il en existe une infinité :we:

[Ben314]

je suppose que si je reponds

ma reponse est ok ?

Sur le principe, c'est plus ou moins O.K.
- Normalement tu n'a pas le droit d'écrire f(1,1) ni f(-1,-1) vu que f est définie sur ]-1,1[², mais si tu la prolonge à [-1,1]\{(-1,1),(1,-1)} (attention a bien enlever ces deux points), c'est bon.
- Il te faut des inégalités strictes sur les dérivées partielle pour avoir la croissance stricte des fonction partielle et pour pouvoir écrire :
-1=f(-1,-1)0 et on a [TEX]\ -10 qui est vraie et celle de droite à (1-x)(1-y)>0 qui est aussi vraie.

[Sa Majesté]

Sinon on peut passer par les tangentes hyperboliques ! :zen:

[ortollj]

Merci Ben314
je suis un peu lent a la comprenette,je viens juste de comprendre ton explication :hum:
0 0 -(x+y) (x+y) > -(1+xy)
0 0 (x+y) < 1+xy
d'ou -(1+xy)<(x+y) < 1+xy et si on divise par (1+xy) on obtient bien



je me demande si sa Majesté ne se moquerait pas un peu de ma solution alambiquée !

[Sa Majesté]

je me demande si sa Majesté ne se moquerait pas un peu de ma solution alambiquée !

Pas du tout, au contraire !

Soient -1 < x < 1 et -1 < y < 1

Il existe X et Y réels tels que x = tanh X et y = tanh Y

Du coup

Donc -1 < x*y < 1

[Ben314]

je me demande si sa Majesté ne se moquerait pas un peu de ma solution alambiquée !

En fait... pas du tout...
La tangente hyperbolique, c'est et on montre facilement que c'est une bijection de R sur ]-1,1[ et que .
Donc, si on note ArgTh la bijection réciproque de Th (donc ArgTh:]-1,1[->R) alors ta fameuse loi *, c'est en fait x*y=Th(ArgTh(x)+ArgTh(y))
Ce qui signifie en fait que la fonction Th est un isomorphisme de groupe de (R,+) sur (]-1,1[,*)

EDIT : grilled d'une minute...