[DEUG] Applications multi linéaires

[Anonyme]

Bonjour

Si E et F sont deux R-e.v. de dimensions respectives
p et q, quelle est la dimension de l'espace des
applications k-linéaires de E dans F ?

Merci, Pierre

[Anonyme]

pq
"Pierre Capdevila" a écrit dans le message de
news:caje9f$fes$1@news.mgn.net...
> Bonjour
>
> Si E et F sont deux R-e.v. de dimensions respectives
> p et q, quelle est la dimension de l'espace des
> applications k-linéaires de E dans F ?
>
> Merci, Pierre
>
>
>

[Anonyme]

christian delaruelle :
[color=green]
>> Si E et F sont deux R-e.v. de dimensions respectives
>> p et q, quelle est la dimension de l'espace des
>> applications k-linéaires de E dans F ?
>
> pq[/color]

ex : A^n(E) formes linéaires alternées de E de dimension n dans le
corps K.
dim A^n(E)=1

.... mouais

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Pierre Capdevila :

> Si E et F sont deux R-e.v. de dimensions respectives
> p et q, quelle est la dimension de l'espace des
> applications k-linéaires de E dans F ?

Les formes k-linéaires vont habituellement de E dans K non ?

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Pierre Capdevila a écrit :
>
> Bonjour
>
> Si E et F sont deux R-e.v. de dimensions respectives
> p et q, quelle est la dimension de l'espace des
> applications k-linéaires de E dans F ?

Je dirais qu'une application k-linéaire à valeur dans F, c'est la donnée
de q formes k-linéaires non ?

--
Nico.

[Anonyme]

Nicolas Richard a écrit
> Je dirais qu'une application k-linéaire à valeur dans F,
> c'est la donnée de q formes k-linéaires non ?

dim E = p
dim F = q

Une application k-linéaire de E dans F est une application de
E x E .. x E (k fois E) dans F.

Pour chaque espace de départ on a une application linéaire
dans F (de dimension p * q) donc je dirais plutôt qu'une
application k-linéaire est la donnée de k applications linéaires
donc la dimension de l'espace des applications k-linéaires de
E dans F est (p^k) * q

Mais je ne suis pas sûr ...

Pierre

[Anonyme]

christian delaruelle a
> pq

non

[Anonyme]

Michel a écrit
> ex : A^n(E) formes linéaires alternées de E de dimension n dans le
> corps K.
> dim A^n(E)=1
>
> ... mouais

Pourquoi dis-tu que l'espace des formes n-linéaires
alternées est de dimension 1 ?

Pierre

[Anonyme]

Michel a écrit
> Les formes k-linéaires vont habituellement de E dans K non ?

Oui mais il existe aussi des applications p-linéaires
qui vont d'un e.v. vers un autre (sur le même corps K).

Pierre

[Anonyme]

Pierre Capdevila a écrit :
>
> Nicolas Richard a écrit[color=green]
> > Je dirais qu'une application k-linéaire à valeur dans F,
> > c'est la donnée de q formes k-linéaires non ?[/color]

Quand je disais cela, j'avais en tête le produit tensoriel de E par lui
même k fois. On sait (le sait-on?) qu'une base est donnée par tous les
produits tensoriels des formes de la base duale de E. Soit p formes, et
donc p^k produits. Si ma remarque est justifiée, ça fait donc q * p^k

> dim E = p
> dim F = q

> donc la dimension de l'espace des applications k-linéaires de
> E dans F est (p^k) * q

C'est à dire la même chose que toi. J'ai confiance.

--
Nico.

[Anonyme]

OK merci

Pierre

[Anonyme]

Pierre Capdevila :

> Pourquoi dis-tu que l'espace des formes n-linéaires
> alternées est de dimension 1 ?

C'est un résultat du cours sur les déterminants.

Lorsqu'on cherche des formes n-linéaires alternées f, on a :
en notant (e_1,..,e_n) est une base de E,
. la loi externe sur E,

f(u_1,...,u_n) = f(somme{a_i1 . e_i}, ... ,somme{a_in . e_i})
(somme de i=1 à n)

= somme(g \in S_n) a_g(1)1*...*ag(n)n
* f(e_g(1),..,e_g(n))
où S_n est le groupe des permutations de {1,...,n}

= somme(e(g)*a_g(1)1*...*ag(n)n)
* f(e_1,...,e_n)
(parce que f est alternée)
où e est la signature de g.

Enfin si on prend la forme linéaire f_0 telle que
f_0(e_1,...,e_n) = 1
alors on vérifiera que f_0 définie ainsi est n-linéaire alternée :
f_0(u_1,...,u_n) = somme(e(g)*a_g(1)1*...*ag(n)n)

et que f_0 est base des formes n-linéaires alternées f qui
s'écrivent f=k*f_0 ou k est un scalaire égal à f(e_1,...,e_n).

Ensuite on définit f_0 comme le déterminant dans la base B.


Mais là je pense que le contre-exemple était mal choisi, le fait de
rajouter alternée fais qu'on ne s'intéresse qu'à une toute petite
partie de l'espace.

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

OK merci. J'avais oublié ce résultat.

Pierre