Applications Linéaires

[Yurienu]

Bonjour, ayant attaqué le cours sur les appli linéaires j'aurais 2 ou 3 questions de méthode svp:

- Comment déterminer formellement dans un exo Im(f) ? Puisque je vois bien la définition dans mon cours comme quoi Im(f) = f(E) (pour f une application linéaire de E -> F). Puisque je m'explique dans un de mes exos je dois determiner la nature de f (injective surjective ou bijective). j'ai bien identifié le noyau qui etait égal à 0 mais je voulais verifier si Im(f)= F pour savoir si l'appli etait bijective mais la avec juste la definition je bloque un peu sur la formalisation. (l'exo c'etait f(x,y,z) = (2x-3y+z, x+z, y+2z))

- Deuxièmement j'ai un exo ou cette fois ci on ne me donne pas l'application directement mais seulement 3 vecteurs et leur image respective et on me demande une base de f, son rang et son noyau. De la même manière je voulais savoir la méthode sur ce genre d'exercice ou on ne possède pas l'application directement.
(les vecteurs sont u=(1,-2,0) v=(1,-3,0) et w= (0,0,1)
avec f(u)=(1,0,1) f(v)=(1,1,2) et f(w)=(2,1,3) )

Merci d'avance pour l'aide !

[Joker62]

Bonjour ;)

Le théorème qui doit venir à l'esprit dans l'étude des applications linéaires en dimension finie est le théorème du rang :

dim E = dim(ker(f)) + rang(f)
où rang f = dim(Im(f))

Une conséquence directe de ce théorème est qu'en dimension finie, on a équivalence entre
injectivité <=> surjectivité <=> bijectivité

Donc à partir du moment où tu sais que ton app. linéaire est injective, tu sais qu'elle est surjective et que f(E) = F.
C'est là tout l'intérêt du théorème. Il évite de calculer des images d'applications.

Pour ton deuxième exo, tu peux écrire la matrice correspondante et te rappeler qu'endormorphisme et matrice, c'est exactement la même chose.

[Yurienu]

Ok ok très bien effectivement j'avais vu ce théorème sur le net mais on en etait pas encore arrivé la en cours (très intelligent d'avoir donné les exos a faire dans l'avoir vu ;( ) j'avais pensé que comme pour le noyau on pouvait resoudre Im(f) via des equa ou système mais il est vrai que le théorème simplifie les choses. Pour ce qui est du 2e exo le problème est que l'on a pas encore vu les matrices donc a mon avis même si j'ai déjà regardé un peu et vu que cela simplifiait grandement les choses, le but étant de repondre sans passer par les matrices :s donc dans ce cas la comment faire ?

[Yurienu]

Donc à partir du moment où tu sais que ton app. linéaire est injective, tu sais qu'elle est surjective et que f(E) = F.

Je n'ai pas bien compris ce que tu veux dire, en somme si une appli linéaire est injective cela induit la sujectivité forcémment ? (donc la bijectivité)

[Joker62]

Et oui totalement.
Ca étonne n'est-ce-pas ? :D

Injective => noyaux réduit à 0 => dim ker = 0

Théorème du rang => dim E = dim(Im(f))
Or Im(f) C E

D'où Im(f) = E et f surjective.

Pour ton deuxième problème
Une base de f, ça ne veut rien dire.
On te demande plutôt une base de E (Qui est de dimension 3)
Or tu as trois vecteurs u,v,w
Ca devrait te faire poser comme question : est-ce-que ces vecteurs sont libres ? Si oui, alors ils constituent une base.

De plus, tu dois savoir que si f est bijective, alors l'image d'une base est une base.
Regarde donc si les vecteurs images forment une base. Si non, ça veut dire que f n'est pas bijective, et donc ni injective et ni surjective ( Par le théorème du rang du dessus )

Tu peux trouver un éléments du noyau facilement grâce aux relations de dépendance que tu as trouver avec les vecteurs images

[Yurienu]

Très bien merci merci ça aide bien. Effectivement c'est assez étonnant ! ^^ on en apprend tous les jours en maths ! :) merci pour l'aide je vais m'y remettre

[Yurienu]

C'est encore moi ! pour en revenir à ce que tu disais sur le fait que l'injectivité implique la surjectivité et la bijectivité dans une appli linéaire, j'ai soumis la refelxion a ma prof et elle m'a assurer que c'était faux puisque Imf (donc f(E)) est inclue dans F et non dans E ce qui fait qu'on ne peut pas statuer sur la surjectivité de f juste en ayant determiner un noyau réduit à 0. Donc ce qui m'amène à demander quel est bien le fin mot de cette histoire ? ^^

[Joker62]

Je parle des endomorphisme, donc des applications linéaires f : E --> E

[Yurienu]

A ok ok effectivement petit quiproquo ^^