Applications Linéaires

[couette-couette]

Bonjour, je suis en 1ère année de prépa, et un exo me pose problème. Le voici :

Soit F appartenant à R^4, et f appartenant à End(F) tq fof = -Id(F).

a) x € F et différent de 0. Démontrez que [x, f(x)] est libre.

b) y € F tq [x, f(x),y] libre. Démontrez que B=[x, f(x), y, f(y)] est une base de F.

Je ne sais pas comment faire avec le fof.
Faut-il calculer f(x) avant de faire la question a) ?

Merci pour votre aide.

[Nightmare]

Salut !

a) Simplement, si l'on suppose la famille liée, ie s'il existe un certain réel k tel que f(x)=kx. Que vaut alors fof(x) ? conclusion?

[couette-couette]

Dans ce cas, on aurait donc : fof(x) = k².x

Mais après, faut-il déterminer la famille libre avec x et f(x) = k².x ?

[Nightmare]

Je n'ai pas compris ta question... Que veut dire "déterminer la famille libre...." ?

Tu as fof(x)=k²x mais qu'est censé valoir fof(x) ?

[couette-couette]

fof(x) = k².x = -Id (F)

Donc x=-1/k².Id (F)

[Nightmare]

C'est quoi Id(F) ? J'ai l'impression que tu ne comprends pas trop les outils que tu manipules ici !!

Lorsqu'on te dit qu'on a fof=-Id(F), ça veut dire quoi?

[couette-couette]

Id(F), c'est la matrice identité non ?

[couette-couette]

J'ai vu sur d'autres forums que fof(x) = -Id(F) revient à fof(x) = -x

C'est ça ?

[Arnaud-29-31]

Bonjour,

En effet, t'as l'air de patauger, rien que l'énoncé n'est pas clair F appartient à R^4 t'es sur que c'est ce que tu voulais dire ? Si F est un objet et non une fonction ton End(F) et Id(F) veulent rien dire ... d'ailleurs c'est très bizarre comme notation End(F) ... Si tu veux parler de l'ensemble des endomorphismes de F, on écrit usuellement L(F).

Et quand tu demandes s'il faut calculer f(x), il n'y a rien a calculer, f est ici visiblement n'importe quel endomorphisme d'un sous ensemble de R^4, tu n'en sais pas plus ...

Enfin, pour le a), une famille libre c'est une famille dont les vecteurs ne sont pas liés, c'est à dire aucun vecteur n'est combinaisons linéaire des autres.
Donc ici tu dois montrer que si tu prends une combinaison linéaire de x et f(x) alors celle-ci ne peut être nulle que si les coefficients (en générale lambda et mu) sont nuls.
Concrètement, tu prends x different de 0, lambda et mu des scalaires tels que lambda.x + mu.f(x) = 0, tu appliques f à l'égalité (c'est la qu'intervient le fof = -Id) et ça saute au yeux que lambda et mu sont nuls (par l'absurde)

Pour le b), tu montres que la famille est libre, son nombre de vecteurs est égal à la dimension de l'ensemble dans lequel on travaille, donc ta famille est une base (on rédige en principe la dernière ligne en disant la famille est libre et composée du bon nombre de vecteurs, c'est donc une base de F)

[Finrod]

Il me semble que End(F) est une notation internationale. En tout cas , c'est aussi classique, on utilise que ça en théorie des catégorie notamment.

ça doit donc dépendre de la formation qu'a suivi son prof. Vu qu'elle est en prépa, il a surement fait un doctorat, d'ou le choix dans les notations.

[couette-couette]

Merci Arnaud pour ta réponse sur la question b. J'ai tout compris ! :id:

Par contre, pour le a), je suis vraiment en lutte. :mur:

Quand tu dis "tu appliques f à l'égalité (c'est la qu'intervient le fof = -Id)",
je dois reprendre le truc de Nightmare, en disant que fof(x) = k².x ?

[Arnaud-29-31]

Et béé

lambda.x + mu.f(x) = 0 , j'applique f ca donne

lambda.f(x) + mu.fof(x) = 0 ce qui donne lambda.f(x) - mu.x = 0 puisque fof = - Id

On a donc lambda.f(x) = mu.x

On reprend la première égalité et on fait apparaître lambda.f(x) en multipliant par lambda : soit lambda².x + mu.lambda.f(x) = 0

D'où lambda².x + mu².x = 0

Finalement lambda² + mu² = 0 donc lambda = mu = 0

[couette-couette]

Ah ok !

Merci bien Arnaud ! En fait, je comprenais pas le terme "appliquer f".

[Arnaud-29-31]

Ce qu'a proposé nighmare avec le k est moins lourd à écrire car il ne prend qu'un coefficient, on suppose les vecteurs liée et au lieu d'écrire il existe lambda,mu différents de 0 tels que lambda.x + mu.f(x) = 0, on fixe un coeff et on écrit f(x) = k.x

Donc si on exprime la combinaison linéaire ce coup-ci comme ceci :

f(x) = k.x, on applique f ca donne
fof(x) = k.f(x) or fof = -Id donc
-x = k.f(x) et on remplace f(x) par k.x :
-x = k².x ce qui donne k² + 1 = 0 ce qui est absurde : les vecteurs ne sont pas liés.

[couette-couette]

Après, j'avais 2 autres questions.

c) Trouver la matrice de f dans B
d) Déterminer f appartenant à End(R^4) tq fof = -Id (R^4)

Pour c) : j'ai trouvé
M = 0 -1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 -1
0 0 1 0

Pour d) Peut-on partir de : fo(f^-1) = Id, ou pas ?

[Ben314]

Bo,; pour mettre tout le monde d'accord, OK, End(F) est "assez standard" comme notation lorsque F est un e.v., mais par contre :
"Soit F appartenant à R^4, et f appartenant à End(F)"
là, ç'est plus trop guère standard...

[Ben314]

Faire quand même attention :

...Pour n terme il faut en fait n - 1 coeff, l'un peut etre fixé à 1 et les autres ajusté en fonction...

Le terme "fixé à 1" n'est pas n'importe lequel : par exemple les trois vecteurs , et sont liés donc il existe non tous nuls tels que MAIS on ne peut pas "fixer" b=1...

Dans la soluce de nightmare, ce qui fait que ça marche est l'hypothèse x non nul qui garanti que s'il existe a,b non tous nuls tels que alors il existe k (éventuellement nul) tel que

[Arnaud-29-31]

Oulaa je te suis pas là ... bien sur qu'on ne peut pas fixer des vecteurs, v reste ce qu'il est, on touche au scalaires et on montre que la seule CL est la CL nulle, et oui l'égalité suppose x non nul (qq soit l'exemple) sinon l'égalité est vérifiée pour tout scalaire.

Enfin c'est vrai que ce que j'ai écrit n'est pas très clair (j'ai réédité le message)

La démo avec le k.x est en fait une démo par l'absurde (on suppose les vecteurs liés et on arrive à l'absurdité k² + 1 = 0) donc on peux fixer le coeff à 1 comme je l'ai dis, l'absurdité montre que les vecteurs ne sont pas liés.
En revanche il est vrai que avec ton exemple, vu que l'on a trois vecteurs, si on dit je fixe b à 1, on arrive à une absurdité qui peut vouloir dire les vecteurs ne sont pas liés OU le scalaire b n'était en fait pas non nul ...

Ma démo prend une CL nulle et montre que les coeff ne peuvent que être nuls.

[couette-couette]

Help !

Après, j'avais 2 autres questions.

c) Trouver la matrice de f dans B
d) Déterminer f appartenant à End(R^4) tq fof = -Id (R^4)

Pour c) : j'ai trouvé
M = 0 -1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 -1
0 0 1 0

Pour d) Faut-il partir de : fo(f^-1) = Id, ou pas ?

[Arnaud-29-31]

... bein c'est la fonction représentée par la matrice trouvé en c), je vois pas pourquoi aller chercher plus loin ...