Algèbre linéaire, méthode de résolution (image, noyau, et matrice inversible)

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
emdro
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par emdro » 14 Avr 2007, 16:15

Oui exactement.

Donc tu vois que:
*les deux premiers cas ont donné le même résultat, c'étaient deux bases différentes du même plan, mais que quand on connait une base, on connait l'ensemble des combinaisons linéaires. Ce n'est pas la peine de chercher mieux que de donner une base.
*La notion de famille libre est importante: avec deux vecteurs, on n'a pas nécéssairement un espace de dimension 2. Tout ce qu'on sait, c'est que la dimension sera inférieure ou égale à 2.

Réglons cette croyance que la réponse est toujours IR²!
Avec (1,0,0) et (0,0,1), tu obtiens le plan (0;i,k), n'est-ce-pas?
Comme (O,i,j), c'est un espace de dimension 2. Lequel serait égal à IR² selon toi? (Il n'y a pas de réponse, IR² n'ayant pas de sens dans ce cas là).
Il y a une infinité de plans vectoriels dans l'espace à 3 dimensions.

L'espace complet dans notre cas peut être désigné par IR3.



Blandine
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par Blandine » 14 Avr 2007, 16:18

la je n'ai pas envie de me planter, je réfléchi.... :hum:

emdro
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par emdro » 14 Avr 2007, 16:18

Alors, essaie de retrouver maintenant ce qu'est la matrice d'une application linéaire.

maf
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re

par maf » 14 Avr 2007, 16:19

Blandine ... j'ai corrigé ma matrice inverse ... et je trouve la même que emdro, j'ai corrigé les étapes de la méthode de Gauss

emdro
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par emdro » 14 Avr 2007, 16:28

La question est si difficile?
Puis-je t'aider?

Blandine
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par Blandine » 14 Avr 2007, 16:37

bah ouais, j'ai du mal a comprendre tout ça

emdro
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par emdro » 14 Avr 2007, 16:41

OK.

On se situe dans l'espace E avec une base (e1,...,en)
On considère une application linéaire g de E dans F.
F est un autre espace avec une base (f1,...,fp).

L'image de chaque vecteur ei (i entre 1 et n) est un vecteur de F, donc il se décompose sur la base choisie (f1,...,fp).
tu me suis?

Blandine
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par Blandine » 14 Avr 2007, 16:42

zut, je dois partir, je repasserai sans doute d'ici une heure et demie, mais en fait, j'ai compris pour (o, i ,K), sauf que je vois pas pourquoi tu me parles de matrice d'une application linéaire...

Blandine
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par Blandine » 14 Avr 2007, 16:43

j'ai encore 5 petites minutes... et oui, je te suis, jcomprends

emdro
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par emdro » 14 Avr 2007, 16:46

Je te parle de matrices parce que ta question initiale de calcul d'image portait là-dessus, et que j'avais senti que ton problème était de ne pas savoir ce qu'est une matrice!

emdro
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par emdro » 14 Avr 2007, 16:48

Donc, si tu as compris le début, la matrice de g dans les deux bases (ei) et (fj) est le tableau des vecteurs colonnes f(ei) (ses coordonnées dans la base (fj)).

A quelle heure reviens-tu?

Blandine
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par Blandine » 14 Avr 2007, 16:48

ah si, nan jpense savoir, sans pourtant pouvoir le définir clairement, enfin ça ne me pose pas beaucoup de problème pour le moment, j'applique si je peux, en fait. je sais c'est un peu bete, je copie la méthode des autres, jusqu'à ce que je comprenne, mais j'ai toujours fonctionné comme ça quand ça n'était pas clair du premier coup

jdois y aller peut-être à tout a lheure, si tu es toujours là, je pense que j'aurai d'autres questions enfin toujours sur la même histoire...

(de retour dans une heure et demie)

et merci pour toutes les réponses que j'ai eu

emdro
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par emdro » 14 Avr 2007, 16:56

OK, j'essairai d'être là à ton retour.

Je ne suis pas sûr que ce soit bien solide de copier des méthodes avancées sans avoir compris les bases, mais peut-être que cela marche pour toi.

Si tu es d'accord, essaie pour reprendre la discussion, de m'écrire la matrice de g de IR3 dans IR3, avec leurs bases canoniques; g étant la projection sur (O,i,j).
Par exemple (4,6,2) devient (4,6,0). Je répondrai à tes questions du début sur cet exemple.

A+

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par Blandine » 14 Avr 2007, 18:23

je veux bien essayer, mais je comprend pas "g étant la projection sur (O, i, j)", je me doute qu'il y a un rapport avec les vecteurs (1,0,0) et (0,1,0), mais ça n'est pas précis dans mon esprit.. est-ce qu'il faut que je prenne en compte :
"On se situe dans l'espace E avec une base (e1,...,en)
On considère une application linéaire g de E dans F.
F est un autre espace avec une base (f1,...,fp)." ?

emdro
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par emdro » 14 Avr 2007, 18:28

J'essaie de te montrer comment constituer une matrice d'une application linéaire.
Alors pour notre projection,
l'image de i est i
l'image de j est j
l'image de k est 0.

Donc, g(i) a pour coordonnées 1,0,0 (en colonne)

g(j) a pour coordonnées 0,1,0

g(k) a pour coordonnées 0,0,0


Ca donne quoi comme matrice?

Blandine
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par Blandine » 14 Avr 2007, 18:30

1 0 0
0 1 0
0 0 0

?

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par emdro » 14 Avr 2007, 18:35

Oui,

As-tu déjà remarqué que comme g est linéaire, la donnée des images de i, j et k suffit à connaitre les images de tout le monde:
g(xi+yj+zk)=g(xi)+g(yj)+g(zk)=xg(i)+yg(j)+zg(k),

et que c'est cette idée qui définit la façon dont on fait le produit de la matrice par le vecteur (x,y,z) (en colonne)?

Blandine
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par Blandine » 14 Avr 2007, 18:39

première partie, sans problème, mais le fait que c'est cette idée qui définit la façon dont on fait le produit de la matrice par le vecteur (x,y,z) (en colonne), non et je n'ai toujours pas compris enfin pas compris, c'est que je ne vois pas, plutot

emdro
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par emdro » 14 Avr 2007, 18:44

Je pense que c'est assez important pour qu'on y passe 2 minutes (après, je te promets qu'en 5 minutes, tu as la réponse à toutes tes questions du début!!)
eh bien dans notre cas, xg(i)+yg(j)+zg(k) a pour coordonnées: 1x+0+0, 0+1y+0 et 0+0+0 (écris le en colonne tu comprendras tout de suite).

Effectue ensuite le produit de ta matrice par (x,y,z) en colonne, et tu verras que tu fais exactement la même chose.

Bon je reviens au noyau Ker f , c'est l'ensemble des vecteurs u tels que f(u)=0
C'est pour cela que si tu poses u=(x,y,z) en colonne, tu vas résoudre Au=0, A étant la matrice que tu m'as donnée.

Fais-le dans notre cas et dis moi ce que tu obtiens

Blandine
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par Blandine » 14 Avr 2007, 18:56

bon si je me plante, c'est que je suis perdue à jamais...

-------1 0 0 ----- x -----x
Au = ( 0 1 0 ) * ( y ) = ( y ) Donc A.u = 0 est possible si U = (0, 0, k),
-------0 0 0 -----z----- 0
avec k appartenant à IR. (en fait, je savais pas trop quoi mettre pour z...)

(les - c pr éviter kca se décale)

 

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