Algèbre linéaire : applications linéaires

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Mathusalem
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Algèbre linéaire : applications linéaires

par Mathusalem » 25 Jan 2010, 00:14

Bonsoir,
J'ai récemment eu un examen d'algèbre linéaire, et ayant fait un exercice faux en début d'examen, corrigé par la suite, je n'avais que très peu de temps pour répondre à la question suivante :

Soit F une application linéaire de Mat(3;3;R) -> Mat(3;3;R) telle que
f(C) -> C + . Est-ce que le noyau et l'image de cette application sont en somme directe ?

Ayant que très peu de temps pour répondre et pas de temps pour réfléchir quant à pourquoi on n'a pas de précision sur la nature de t, j'ai utilisé mon instinct de McGyver pour me tirer de la situation avec l'explication suivante, sur laquelle j'aimerais avoir votre avis (est-ce juste) :

Oui, le noyau et l'image de cette application sont en somme directe.
Remarquons d'abord que l'ensemble de départ et d'arrivée de cette fonction sont identiques (automorphisme?), par conséquent, KerF et ImF sont deux sous-espaces vectoriels de Mat(3;3;R). Par le théorème du rang, nous avons que dimV = dimImF + dimKerF, où V = mat(3;3;R) pour ce cas-ci.

Or, par un corollaire connu, nous avons que si U, V sont des sous-espaces vectoriels de W, alors dimU + dimV = dimW s.s.i U et V sont en somme directe (pour des E.V de dimension finie).

Par conséquent, toute application linéaire ayant des ensemble de départ et d'arrivée identiques aura son noyau et son image en somme directe.
---------

Voilà, est-ce que ça semble tenir la route pour vous, ou y a-t-il une erreur ?

A+



Doraki
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par Doraki » 25 Jan 2010, 00:20

Mathusalem a écrit:Or, par un corollaire connu, nous avons que si U, V sont des sous-espaces vectoriels de W, alors dimU + dimV = dimW s.s.i U et V sont en somme directe (pour des E.V de dimension finie).

vraiment ?

Mathusalem
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par Mathusalem » 25 Jan 2010, 00:27

Doraki a écrit:vraiment ?


c'est faux ça ? De mémoire*ça me semblait juste, je vais vérifier dans mon cours.

EDIT : Alors en effet, j'ai fait confusion avec :

Soient U,V des S.E.V de W, alors

U + V = U somme directe V s.s.i dim(U+V) = dim U + dim V

Qu'aurait-il fallu dire en plus ?
Par le th. du Rang, comme dimV = dimKer + dimIm, alors les vecteurs de base qui engendrent le noyau et l'image doivent être linéairement indépendants pour pouvoir engendrer l'espace vectoriel total ? (sachant que dans ce cas, Im(f) est s.e.v de V) Et par conséquent, le noyau et l'image sont en somme directe.
Ça marche ça ?

Doraki
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par Doraki » 25 Jan 2010, 00:33

Etre en somme directe ça veut dire que l'intersection de U et V doit être {0}.

Dans tous les cas, ça ne peut être qu'une bonne idée de commencer par regarder concrètement ce que sont les sous-ev Ker f et Im f.

Et tC, c'est la matrice transposée de C (les lignes de tC sont les colonnes de C et inversement)

Mathusalem
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par Mathusalem » 25 Jan 2010, 00:38

Ah... en effet j'étais parti sur t un réel quelconque.. du coup j'ai pas essayé de déterminer l'image et le noyau pour utiliser le principe de l'intersection contenant seulement l'élément zéro.

Néanmoins, ne te semble-t-il pas juste d'affirmer que lorsqu'une application linéaire a un ensemble de départ et d'arrivée identique, alors le noyau et l'image sont forcément en somme directe ? Je ne trouve pas de contre-exemple.

Doraki
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par Doraki » 25 Jan 2010, 00:46

Non, par exemple si f : (x,y) -> (0,x) ; Im f = Ker f = la droite x = 0.

Mathusalem
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par Mathusalem » 25 Jan 2010, 00:49

Ok, merci.

A+

alavacommejetepousse
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par alavacommejetepousse » 25 Jan 2010, 03:19

bonjour

une matrice du noyau est antisymétrique une de l'image est symétrique,
la seule qui soit les deux est la matrice nulle.

Finrod
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par Finrod » 25 Jan 2010, 09:08

Deux sev U et Vde E sont somme directe de E s'ils vérifient 2 des 3 propritétés suivantes :

1 - intersection vide
2 - U+V = E
3- dim(U)+dim(V)=Dim(E)

En particulier, si E=U+V, il suffit d'avoir soit 1, soit 3.

 

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